Остренко, М. В.Остренко, М. В.Ostrenko, M. V.2026-03-162026-03-162018https://eir.zp.edu.ua/handle/123456789/27502Остренко М. В. Edge-Based векторные базисные функций для аппроксимации электромагнитного поля в объемных и поверхностных конечных элементах / М. В. Остренко // Електротехніка та електроенергетика. – 2018. – № 4. – С. 43-50.RU: Цель работы. Анализ свойств Edge-Based векторных базисных функций для объемных элементов и разработка поверхностных Edge-Based векторных базисных функций МКЭ для аппроксимации векторных величин электромагнитного поля в поверхностных интегралах. Методы исследования. Основываясь на свойствах симплексных координат, предлагается математическая модель Edge-Based векторных базисных функций, как для объемных, так и для поверхностных элементов. Полученные результаты. Выполнен анализ Edge-Based векторных базисных функций для метода конечных элементов (МКЭ). На основе анализа предложены Edge-Based функции для поверхностных элементов (треугольников). Получены свойства Edge-Based базисных функций, позволяющие более точно моделировать магнитное поле, вихревые токи и потери в сравнении с Nodal-Based векторными базисными функциями. Предложенная математическая модель показывает ортогональность предложенной системы Edge-Based векторных базисных функций, что позволяет их использование в МКЭ. Более того, показано, что касательная составляющая векторного поля, представленного в виде линейной комбинации системы как объемных, так и поверхностных Edge-Based базисных функций на ребре элемента, равняется коэффициенту линейной комбинации, соответствующему данному ребру. Данное свойство позволяет объединить объемные и поверхностные интегралы МКЭ в одну систему линейных уравнений. Научна новизна. Новизной предложенной математической модели является форма, дающая возможность перехода от объемных интегралов к поверхностным и объединения объемных и поверхностных интегралов МКЭ в одну систему линейных уравнений. Это позволяет существенно снизить размерность задачи и, как следствие, снизить ресурсоемкость метода и увеличить его быстродействие без значительных u1087 потерь точности. Практическая ценность. Приведенные Edge-Based векторные базисные функции для объемных и поверхностных конечных элементов были использованы в разработанном программном комплексе ELMAD-3D, предназначенном для расчета потерь и перегревов от полей рассеяния силовых трансформаторов и реакторов. Использование поверхностных Edge-Based векторных базисных функций позволило существенно увеличить быстродействие методов расчета и снизить их ресурсоемкость. UK: Мета роботи. Аналіз властивостей Edge-Based векторних базисних функцій для об'ємних елементів і розробка поверхневих Edge-Based векторних базисних функцій МКЕ для апроксимації векторних величин електромагнітного поля в поверхневих інтегралах. Методи дослідження. Ґрунтуючись на властивостях симплексних координат пропонується математична модель Edge-Based векторних базисних функцій як для об'ємних так і для поверхневих елементів. Основні результати. Виконаний аналіз Edge-Based векторних базисних функцій для методу скінчених елементів (МСЕ). На основі аналізу запропоновано Edge-Based функції для поверхневих елементів (трикутників). Отримано властивості Edge-Based базисних функцій, що дозволяють більш точно моделювати магнітне поле, вихрові струми і втрати в порівнянні з Nodal-Based векторними базисними функціями. Запропонована математична модель показує ортогональність запропонованої системи Edge-Based векторних базисних функцій, що дозволяє їх використання в МСЕ. Більш того показано, що дотична складова векторного поля, представленого у вигляді лінійної комбінації системи як об'ємних так і поверхневих Edge-Based базисних функцій на ребрі елемента, дорівнює відповідному даному ребру коефіцієнту лінійної комбінації. Дана властивість дозволяє об'єднати об'ємні і поверхневі інтеграли МСЕ в одну систему лінійних рівнянь. Наукова новизна. Новизною запропонованої математичної моделі є форма, що дає можливість переходу від об'ємних інтегралів до поверхневих і об’єднання об'ємних і поверхневих інтегралів МСЕ в одну систему лінійних рівнянь. Це дозволяє істотно знизити розмірність задачі і, як наслідок, знизити ресурсуємність методу і збільшити його швидкодію без значних втрат точності. Практична цінність. Наведені Edge-Based векторні базисні функції для u1086 об'ємних і поверхневих скінчених елементів були використані в розробленому програмному комплексі ELMAD-3D, призначеному для розрахунку втрат і перегрівів від полів розсіювання силових трансформаторів і реакторів. Використання поверхневих Edge-Based векторних базисних функцій дозволило істотно збільшити швидкодію методів розрахунку і знизити їх ресурсуємність. EN: Purpose. Analysis of the properties of Edge-Based vector of basis functions for the volume elements and working surface Edge-Based FEM vector of basis functions for approximating the vector values of the electromagnetic field in the surface integrals. Methodology. Based on the properties of simplex coordinates, the mathematical model of Edge-Based vector of basic functions for volume, and for the surface elements is proposed. Findings. The analysis of Edge-Based vector basis functions for the finite element method (FEM) is performed. Based on the analysis, Edge-Based functions for surface elements (triangles) are proposed. The properties of Edge-Based basis functions are obtained, which make it possible to more accurately simulate a magnetic field, eddy currents and losses in comparison with Nodal-Based vector basis functions. The proposed mathematical model shows the orthogonality of the proposed system Edge-Based vector basis functions, which allows their use in FEM. Moreover, it is shown that the tangent component of a vector field, represented as a linear combination of a system of both volume and surface Edge-Based basis functions on the edge of an element, is equal to the coefficient of the linear combination corresponding to the given edge. This property allows us to combine the volume and surface integrals of the FEM into one system of linear equations. Originality. The originality of the proposed mathematical model is the form, which makes it possible to go from volume integrals to surface integrals and merge volume and surface integrals of FEM into one system of linear equations. This allows you to significantly reduce the dimension of the problem and, as a result, reduce the resource intensity of the method and increase its speed without significant loss of accuracy. Practical value. The Edge-Based vector basis functions for volume and surface finite elements were used in the developed software package ELMAD-3D, designed to calculate losses and overheating from the leakage fields of power transformers and reactors. The use of surface Edge-Based vector basis functions allowed us to significantly increase the speed of calculation methods and reduce their resource intensity.ruметод конечных элементовобъемные и поверхностные векторные базисные функцииметод скінчених елементівоб'ємні і поверхневі векторні базисні функціїfinite element methodvolume and surface vector basis functionsArticle