Тарасов, В. Н.Тарасов, В. Н.Tarasov, V. N.2026-03-102026-03-102021https://eir.zp.edu.ua/handle/123456789/27226Тарасов В. Н. Математическая модель задержки на основе систем с гиперэрланговским и эрланговским распределениями / В. Н. Тарасов // Радіоелектроніка, інформатика, управління. – 2021. – № 1 (56). – C. 87-96.RU: Актуальность. Исследования систем G/G/1 в теории массового обслуживания актуальны в связи с тем, что такие системы представляют интерес для анализа задержки систем передачи данных. В тоже время нельзя получить решения для задержки в конечном виде в общем случае при произвольных законах распределений входного потока и времени обслуживания. Поэтому важны исследования таких систем для частных случаев входных распределений. Рассмотрена задача вывода решения для средне задержки в очереди в замкнутой форме для двух систем с обычными и со сдвинутыми гиперэрланговскими и эрланговскими входными распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы – средней задержки требований в очереди для двух систем массового обслуживания типа G/G/1 с обычными и со сдвинутыми гиперэрланговскими и эрланговскими входными распределениями. Метод. Для решения поставленной задачи использован метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли. Данный метод позволяет получить решение для средней задержки ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли играет важную роль в теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Впервые получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для двух систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для средней задержки в очереди в замкнутой форме. Тем самым построены математические модели задержки требований в очереди для этих систем. Выводы. Полученные формулы расширяют и дополняют известную формулу теории массового обслуживания для среднего времени ожидания для систем G/G/1 с произвольными законами распределений входного потока и времени обслуживания. Такой подход позволяет рассчитать среднюю задержку для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Кроме средней задержки, такой подход дает возможность определить и моменты высших порядков задержки. Учитывая тот факт, что вариация задержки пакетов (джиттер) в телекоммуникациях определяется как разброс задержки от ее среднего значения, то джиттер можно будет определить через дисперсию задержки. Полученные результаты публикуется впервые. UK: Актуальність. Дослідження систем G/G/1 в теорії масового обслуговування актуальні в зв’язку з тим, що такі системи становлять інтерес для аналізу затримки систем передачі даних. У той же час не можна отримати рішення для часу затримки в кінцевому вигляді в загальному випадку при довільних законах розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Тому є важливими дослідження таких систем для окремих випадків вхідних розподілів. Розглянуто задачу виведення рішення для середньої затримки в черзі у замкнутій формі для двох систем зі звичайними і з зсунутими гиперерлангівськими і ерлангівськими вхідними розподілами. Мета роботи. Отримання рішення для основної характеристики системи – середньої затримки вимог в черзі для двох систем масового обслуговування типу G/G/1 зі звичайними і з зсунутими гиперерлангівським і ерлангівським вхідними розподілами. Метод. Для вирішення поставленого завдання був використаний класичний метод спектрального розкладання розв'язку інтегрального рівняння Ліндлі. Цей метод дозволяє отримати рішення для середньої затримки для розглянутих систем у замкнутій формі. Метод спектрального розкладання розв’язку інтегрального рівняння Ліндлі грає важливу роль у теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів було використано відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Вперше отримано спектральні розкладання розв’язку інтегрального рівняння Ліндлі для двох систем, за допомогою яких виведені розрахункові формули для середньої затримки в черзі в замкнутій формі. Висновки. Отримано спектральні розкладання розв’язку інтегрального рівняння Ліндлі для розглянутих систем, та з їх допомогою виведені розрахункові формули для середньої затримки в черзі для цих систем в замкнутій формі. Ці формули розширюють і доповнюють відомі формули теорії масового обслуговування для середньої затримки для систем G/G/1 з довільними законами розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Такий підхід дозволяє розрахувати середньої затримки для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Всі інші характеристики систем є похідними часу очікування. Крім середнього часу очікування, такий підхід дає можливість також визначити моменти вищих порядків часу очікування. З огляду на той факт, що варіація затримки пакетів (джиттер) в телекомунікації визначається як дисперсія затримки від його середнього значення, то джиттер можна буде визначити через дисперсію затримки. EN: Context. Studies of G/G/1 systems in queuing theory are relevant because such systems are of interest for analyzing the delay of data transmission systems. At the same time, it is impossible to obtain solutions for the delay in the final form in the general case for arbitrary laws of distribution of the input flow and service time. Therefore, it is important to study such systems for particular cases of input distributions. We consider the problem of deriving a solution for the average queue delay in a closed form for two systems with ordinary and shifted hypererlangian and erlangian input distributions. Objective. Obtaining a solution for the main characteristic of the system – the average delay of requests in the queue for two queuing systems of the G/G/1 type with ordinary and with shifted hypererlangian and erlangian input distributions. Method. To solve this problem, we used the classical method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation. This method allows to obtaining a solution for the average delay for systems under consideration in a closed form. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation plays an important role in the theory of systems G/G/1. For the practical application of the results obtained, the well-known method of moments of probability theory is used. Results. For the first time, spectral expansions of the solution of the integral Lindley equation for two systems are obtained, with the help of which calculation formulas for the average delay in a queue in a closed form are derived. Thus, mathematical models of queuing delay for these systems have been built. Conclusions. These formulas expand and supplement the known queuing theory formulas for the average delay G/G/1 systems with arbitrary laws distributions of input flow and service time. This approach allows us to calculate the average delay for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. In addition to the average delay, such an approach makes it possible to determine also moments of higher orders of waiting time. Given the fact that the packet delay variation (jitter) in telecommunications is defined as the spread of the delay from its average value, the jitter can be determined through the variance of the delay.ruэрланговский и гиперэрланговский законы распределенияинтегральное уравнение Линдлиметод спектрального разложенияпреобразование Лапласаерлангівський та гіперерлангівський закони розподілуінтегральне рівняння Ліндліметод спектрального розкладанняперетворення Лапласаhypererlangian and erlangian distribution lawsLindley integral equationspectral decomposition methodLaplace transformArticle