Анализ двух систем массового обслуживания HE2/M/1 с обычными и сдвинутыми входными распределениями

Abstract

RU: Актуальность. В теории массового обслуживания исследования систем G/M/1 и G/G/1 актуальны в связи с тем, что до сих пор не существует решения в конечном виде для общего случая при произвольных законах распределений входного потока и времени обслуживания. Рассмотрена задача вывода решения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме для двух систем с обычными и со сдвинутыми гиперэрланговскими и экспоненциальными входными распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы – среднего времени ожидания требований в очереди для двух систем массового обслуживания типа G/M/1 и G/G/1 с обычными и со сдвинутыми гиперэрланговскими и экспоненциальными входными распределениями. Метод. Для решения поставленной задачи использован классический метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли. Данный метод позволяет получить решение для среднего времени ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли играет важную роль в теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Впервые получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для двух систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме. Выводы. Получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемых систем и с их помощью выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди для этих систем в замкнутой форме. Эти выражения расширяют и дополняют известные формулы теории массового обслуживания для среднего времени ожидания для систем G/M/1 и G/G/1 с произвольными законами распределений входного потока и времени обслуживания. Такой подход позволяет рассчитать среднее время ожидания для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Все остальные характеристики систем являются производными от времени ожидания. Кроме среднего времени ожидания, такой подход дает возможность определить и моменты высших порядков времени ожидания. Учитывая тот факт, что вариация задержки пакетов (джиттер) в телекоммуникациях определяется как разброс времени ожидания от его среднего значения, то джиттер можно будет определить через дисперсию времени ожидания. UK: Актуальність. В теорії масового обслуговування дослідження систем G/M/1 і G/G/1 актуальні у зв’язку з тим, що на сьогодні не існує рішення в кінцевому вигляді для загального випадку при довільних законах розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Розглянуто задачу виведення рішення для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі для двох систем зі звичайними і зі зсунутими гіперерлангівськими та експонентними вхідними розподілами. Мета роботи. Отримання рішення для основної характеристики системи – середнього часу очікування вимог в черзі для двох систем масового обслуговування типу G/M/1 і G/G/1 зі звичайними та зі зсунутими гіперерлангівськими та експонентними вхідними розподілами. Метод. Для вирішення поставленого завдання використано класичний метод спектрального розкладання розв’язку інтегрального рівняння Ліндлі. Цей метод дозволяє отримати розв’язок для середнього часу очікування для розглянутих систем в замкнутій формі. Метод спектрального розкладання розв’язку інтегрального рівняння Ліндлі грає важливу роль в теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів було використано відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Вперше отримано спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для двох систем, за допомогою яких виведені розрахункові формули для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі. Висновки. Отримано спектральні розкладання розв’язку інтегрального рівняння Ліндлі для розглянутих систем, та з їх допомогою виведені розрахункові формули для середнього часу очікування в черзі для цих систем в замкнутій формі. Ці формули розширюють і доповнюють відомі формули теорії масового обслуговування для середнього часу очікування для систем G/M/1 і G/G/1 з довільними законами розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Такий підхід дозволяє розрахувати середній час очікування для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Всі інші характеристики систем є похідними часу очікування. Крім середнього часу очікування, такий підхід дає можливість також визначити моменти вищих порядків часу очікування. З огляду на той факт, що варіація затримки пакетів (джиттер) в телекомунікації визначається як дисперсія часу очікування від його середнього значення, то джиттер можна буде визначити через дисперсію часу очікування. EN: Context. In queuing theory, G/M/1 and G/G/1 systems research is relevant in that there is still no solution in the final form for the general case for arbitrary laws of distributions of the input flow and service time. The problem of finding a solution for the average waiting time in queue in a closed form for two systems with ordinary and shifted hypererlangian and exponential input distributions is considered. Objective. Obtaining a solution for the main system characteristic – the average waiting time in queue for two queuing systems of type G/M/1 and G/G/1 with ordinary and shifted hypererlangian and exponential input distributions. Method. To solve this problem, we used the classical method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation. This method allows to obtaining a solution for the average waiting time for systems under consideration in a closed form. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation plays an important role in the theory of systems G/G/1. For the practical application of the results obtained, the well-known method of moments of probability theory is used. Results. The spectral decompositions of the solution of the Lindley integral equation for a pair of dual systems are for the first time received, with the help of which the formulas for the average waiting time in a closed form are derived. Conclusions. The spectral expansions of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration are obtained and with their help the formulas for the average waiting time in the queue for these systems in a closed form are derived. These expressions expand and supplement the known queuing theory formulas for the average waiting time for G/M/1 and G/G/1 systems with arbitrary laws distributions of input flow and service time. This approach allows us to calculate the average latency for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. All other characteristics of the systems are derived from the waiting time. In addition to the average waiting time, such an approach makes it possible to determine also moments of higher orders of waiting time. Given the fact that the packet delay variation (jitter) in telecommunications is defined as the spread of the waiting time from its average value, the jitter can be determined through the variance of the waiting time.