Застосування методу ортогональної диференціальної прогонки при аналізі стаціонарних динамічних задач в неоднорідних структурах

Abstract

UK: Мета роботи. Розвиток чисельного алгоритму для розв’язання широкого кола задач стаціонарної динаміки про взаємодію пластин і циліндричних оболонок з пружними інерційними основами, механічні параметри яких змінюються по товщині за довільними неперервними або дискретними законами. Розв’язання отриманим алгоритмом конкретних задач і оцінка впливу змінності характеристик середовища на основні динамічні характеристики на прикладі трьох задач стаціонарної динаміки. Методи дослідження. Для опису руху пластин і оболонок використовуються рівняння типу Тимошенко і рівняння, які базуються на гіпотезі Кірхгофа-Лява. Поведінка основи описується динамічними рівняннями теорії пружності в напруженнях, з яких з врахуванням змінності модуля Юнга і густини виведені рівняння у переміщеннях зі змінними коефіцієнтами, які в загальному випадку не вдається проінтегрувати аналітично. Для отриманої в результаті переходу до амплітуд і запису умов контакту між тонкостінною конструкцією і неоднорідною основою крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь застосовується метод ортогональної диференціальної прогонки, який на кожному кроці ортогоналізації використовує метод Рунге-Кутта для розв’язання задачі Коші. Таким чином, в задачах про вільні хвилі і власні частоти розв’язується задача на власні значення, а в задачах про рухомі навантаження треба використовувати зворотній хід і потім застосовувати метод суперпозиції. Для оцінки точності, а також оптимального вибору вузлів ортогоналізації в граничних випадках усіх розглянутих задач за умови однорідної основи знайдені аналітичні розв’язки і проведено порівняння результатів. Отримані результати. Створено пакет прикладних програм для чисельного розв’язання крайових однорідних і неоднорідних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, який ґрунтується на методі ортогональної диференціальної прогонки. В даному дослідженні цей пакет застосовується для задач із трьох основних класів задач стаціонарної динаміки: про розповсюдження вільних хвиль в системі циліндрична оболонка – неоднорідний пружний заповнювач, про визначення власних частот в трьохшаровій циліндричній оболонці з неоднорідним середнім шаром і про рух нормального навантаження по пластині на неоднорідній за товщиною основі. В кожній задачі показано вплив неоднорідності основи на фазові швидкості, власні частоти, переміщення пластини. Перевірена за допомогою граничних переходів до відповідних однорідних матеріалів ефективність розробленої програми для більш складних практичних задач і зроблено рекомендації по використанню даного алгоритму для середовищ зі значною кількістю шарів. Наукова новизна. Отримав розвиток для задач стаціонарної динаміки пластин і оболонок, які взаємодіють з тривимірним неоднорідним інерційним середовищем, алгоритм, який ґрунтується на методі ортогональної диференціальної прогонки. За його допомогою розв’язані три задачі з різних трьох класів даного розділу механіки деформівного твердого тіла. Вказані шляхи подальшого використання розробленого пакета на задачі таких класів. Практична цінність. Розроблений пакет програм і отримані за його допомогою результати можуть використовуватися в практиці роботи проектних організацій, які займаються розробкою елементів нової техніки, будівництва, прокладкою сучасних автомагістралей. Крім того, математична частина даної публікації може бути корисною не лише в механіці деформівного твердого тіла, а і в тих розділах науки, де виникають краєві задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь. EN: Purpose. It is development of a numerical algorithm for solving a wide range of stationary dynamics problems on the interaction of plates and cylindrical shells with elastic inertial foundations, the mechanical parameters of which vary in thickness according to arbitrary continuous or discrete laws. Solution of specific problems by the obtained algorithm and assessment of the influence of the variability of the medium characteristics on the main dynamic characteristics using three stationary dynamics problems as an example. Research methods. Timoshenko-type equations and equations based on the Kirchhoff-Love hypothesis are used to describe the motion of plates and shells. The behavior of the foundation is described by dynamic equations of elasticity theory in stresses, from which, taking into account the changeability of Young's modulus and density, equations in displacements with variable coefficients are derived, which in the general case cannot be integrated analytically. For the boundary value problem for a system of ordinary differential equations obtained as a result of the transition to amplitudes and recording the contact conditions between a thin-walled structure and a non-uniform foundation, the orthogonal differential sweep method is used, which uses the Runge-Kutta method at each orthogonalization step to solve the problem. Thus, in problems of free waves and natural frequencies, the eigenvalue problem is solved, and in problems of moving loads, it is necessary to use the reverse move and then apply the superposition method. To assess the accuracy, as well as the optimal choice of orthogonalization nodes in the limiting cases of all the considered problems with a homogeneous foundation, analytical solutions are found and a comparison of the results is carried out. Results. A software package for numerical solution of homogeneous and heterogeneous boundary value problems for systems of ordinary differential equations with variable coefficients based on the orthogonal differential sweep method has been developed. In this study, this software package is used for problems from three main classes of stationary dynamics problems: propagation of free waves in a cylindrical shell – heterogeneous elastic filler system, determination of natural frequencies in a three-layer cylindrical shell with a heterogeneous middle layer, and motion of a normal load along a plate on a foundation heterogeneous in thickness. Each problem shows the influence of the foundation heterogeneity on phase velocities, natural frequencies, and plate displacement. The efficiency of the developed program for more complex practical problems has been tested using boundary transitions to corresponding homogeneous materials, and recommendations have been made on the use of this algorithm for media with a significant number of layers. Scientific novelty. An algorithm based on the orthogonal differential sweep method has been developed for problems of stationary dynamics of plates and shells interacting with a three-dimensional heterogeneous inertial medium. Three problems from three different classes of this section of solid mechanics have been solved with its help. The ways of further use of the developed package for problems of such classes are indicated. Practical value. The developed software package and the results obtained with its help can be used in the practice of design organizations engaged in the development of elements of new technology, construction, and the construction of modern highways. In addition, the mathematical part of this publication can be useful not only in the mechanics of a deformable solid, but also in those sections of science where boundary value problems arise for systems of ordinary differential equations.