Оценивание параметра с несколькими значениями

Abstract

RU: Актуальность. В условиях, когда на разных частях интервала наблюдения параметр заданной модели данных принимает разные значения, возникает задача оценивания параметра с несколькими значениями. Объектом исследования в данной работе является процесс оценивания параметра с несколькими значениями. Цель. Целью работы является разработка подхода к решению задачи оценивания нескольких значений неизвестного параметра для заданной модели данных. Метод. Подход к решению задачи оценивания неизвестного параметра с несколькими значениями основан на построении функции невязки между данными и их моделью и последующем применении к ней критерия минимума протяженности. Критерий минимума протяженности позволяет индивидуализировать значения неизвестного параметра в виде локальных минимумов функционала квазипротяженности для заданной функции невязки. В дискретном случае предлагаемый подход заключается в поиске основных локальных минимумов многоэкстремальной целевой функции. Для решения этой задачи в одномерном случае предложен простой метод, эффективность которого проиллюстрирована на примерах задач с одним неизвестным линейным параметром и с одним неизвестным нелинейным параметром модели. Результаты. В отличие от традиционных подходов, основанных на критерии наименьших квадратов или критерии наименьших модулей и обеспечивающих возможность оценивания только одного значения неизвестного параметра, предложенный подход предоставляет возможность оценивания нескольких значений неизвестного параметра. Численное моделирование одномерных задач аппроксимации данных моделями с одним неизвестным линейным параметром и с одним неизвестным нелинейным параметром подтвердило целесообразность предложенного подхода и его эффективность в условиях, когда необходимое сглаживание функционала не приводит к потере слабых локальных минимумов. Выводы. Для оценивания неизвестного параметра с несколькими значениями целесообразно использовать подход, заключающийся в постановке и решении задачи минимизации функционала квазипротяженности, который построен на основе функции невязки данных с заданной моделью. Этот подход обеспечивает индивидуализацию значений неизвестного параметра путем формирования локальных минимумов целевой функции, которые отвечают искомым значениям параметра. Результаты численного моделирования одномерных задач для случаев линейного и нелинейного параметра подтвердили эффективность применения предложенного подхода. UK: Актуальність. В умовах, коли на різних частинах інтервалу спостереження параметр заданої моделі даних набуває різних значень, виникає задача оцінювання параметра з декількома значеннями. Об’єктом дослідження в даній роботі є процес оцінювання параметра з декількома значеннями. Мета. Метою роботи є розробка підходу до вирішення завдання оцінювання декількох значень невідомого параметра для заданої моделі даних. Метод. Підхід до вирішення завдання оцінювання невідомого параметра з декількома значеннями заснований на побудові функції відхилу даних від їх моделі і подальшому застосуванні до неї критерію мінімуму протяжності. Критерій мінімуму протяжності дозволяє індивідуалізувати значення невідомого параметра у вигляді локальних мінімумів функціоналу квазіпротяжності для заданої функції відхилу. У дискретному випадку пропонований підхід полягає в пошуку основних локальних мінімумів багатоекстремальної цільової функції. Для вирішення цього завдання в одновимірному випадку запропоновано простий метод, ефективність якого проілюстрована на прикладах задач з одним невідомим лінійним параметром та з одним невідомим нелінійним параметром моделі. Результати. На відміну від традиційних підходів, заснованих на критерії найменших квадратів або критерії найменших модулів, які забезпечують можливість оцінювання тільки одного значення невідомого параметра, запропонований підхід забезпечує можливість оцінювання декількох значень невідомого параметра. Чисельне моделювання одновимірних задач апроксимації даних моделями з одним невідомим лінійним параметром та з одним невідомим нелінійним параметром підтвердило доцільність запропонованого підходу і його ефективність в умовах, коли необхідне згладжування не призводить до втрати слабких локальних мінімумів. Висновки. Для оцінювання невідомого параметра з декількома значеннями доцільно використовувати підхід, який полягає в постановці та рішенні задачі мінімізації функціоналу квазіпротяжності, який побудований на основі функції відхилу даних від заданої моделі. Цей підхід забезпечує індивідуалізацію значень невідомого параметра шляхом формування відповідних локальних мінімумів цільової функції, які відповідають шуканим значенням параметра. Результати чисельного моделювання одновимірних задач для випадків лінійного та нелінійного параметра підтвердили ефективність застосування запропонованого підходу. EN: Context. The problem of estimating a parameter with several values on different parts of the data interval is considered. The object of this research is the estimation of several values of an unknown parameter. Objective. The approach to the estimation of several values of an unknown parameter for a given data model is to be developed. Method. The approach to solve the estimation problem of the unknown parameter with several values is based on the constructing a function of the residual between the data and their model and on the subsequent applying the minimum-extent criterion to it. The minimum-extent criterion allows detecting the values of unknown parameter in the form of local minima for the quasi-extent functional of residual function. In the discrete case, the proposed approach is to search for the main local minima of the multi-extremal objective function. To solve this problem in the one-dimensional case a simple method is proposed. The performance of this method is illustrated by the examples of the problems both with one unknown linear parameter of the model and with one unknown non-linear parameter of the model. Results. Unlike the traditional approaches based on the criterion of least squares or criterion of mean-absolute deviation which provide the possibility of estimating just one value of unknown parameter, the proposed approach provides estimating the several values of unknown parameter. Numerical simulation of the one-dimensional approximation problem with models containing the one unknown linear parameter and the one unknown non-linear parameter confirmed the feasibility of the proposed approach and its performance when the necessary smoothing does not lead to the loss of weak local minima. Conclusions. To estimate the several values of unknown parameter it is advisable to use the approach which consists in solving the minimization problem of the quasi-extent functional for the residual function of data. This approach provides an individualization of the values of unknown parameter by forming the corresponding local minima of the objective function. The results of numerical simulation of the one-dimensional problem for both the linear and non-linear parameter confirmed the performance of the proposed approach.