Оптимизация в условиях неопределенности методом детерминизации

Abstract

RU: В статье рассмотрены существующие подходы к оптимизации (оптимальному проектированию) систем в условиях неопределенности. Дана точная постановка задачи условной оптимизации при интервальной неопределенности параметров целевой функции и ограничений. В связи с этим изложены математическая теория сравнения интервалов, включающая точное определение максимального и минимального интервалов, условия существования таких интервалов и алгоритмы их отыскания. Предложена идея решения задачи условной оптимизации при интервальной неопределенности ее параметров. Эта идея основана на правилах математической теории сравнения интервалов, позволяющих заменить сравнение интервалов и выделение максимального и минимального интервала сравнением их нижних и верхних границ. На базе предложенной идеи сформулирован и обоснован метод детерминизации, позволяющий решить задачу условной оптимизации при интервальной неопределенности параметров путем ее сведения к двум полностью определенным задачам оптимизации того же типа. Сформулирована и доказана теорема, определяющая решение задачи условной оптимизации в условиях интервальной неопределенности параметров через решения двух указанных полностью определенных задач оптимизации. Также сформулирована и доказана теорема, определяющая необходимое и достаточное условие существования решения задачи условной оптимизации при интервальной неопределенности. Построен четырехшаговый алгоритм решения задачи условной оптимизации при интервальной неопределенности параметров, который реализует метод детерминизации. Приведен пример работы алгоритма; в качестве решаемой задачи выбрана интервальная задача о назначениях. Проведено сравнение изложенного подхода к решению задач условной оптимизации с неполностью определенными параметрами с другими методами решения таких задач (детерминированный, вероятностный и нечеткий). Указаны достоинства и недостатки различных методов. Подчеркнуто, что предложенный подход позволяет сводить оптимизацию неполностью определенных функций к оптимизации полностью определенных функций строго математически, а не эвристически, как это делается в других известных подходах. UK: У статті розглянуті існуючі підходи до оптимізації (оптимального проектування) систем в умовах невизначеності. Дана точна завдання умовної оптимізації при інтервальної невизначеності параметрів цільової функції і обмежень. У зв’язку з цим викладені математична теорія порівняння інтервалів, що включає точне визначення максимального і мінімального інтервалів, умови існування таких інтервалів і алгоритми їх відшукання. Запропонована ідея рішення задачі умовної оптимізації при інтервальної невизначеності її параметрів. Ця ідея заснована на правилах математичної теорії порівняння інтервалів, що дозволяють замінити порівняння інтервалів і виділення максимального і мінімального інтервалу порівнянням їх нижніх і верхніх меж. На базі запропонованої ідеї сформульований і обгрунтований метод детермінізації, що дозволяє вирішити задачу умовної оптимізації при інтервальної невизначеності параметрів шляхом її зведення до двом повністю певним завданням оптимізації того ж типу. Сформульована і доведена теорема, визначальна рішення задачі умовної оптимізації в умовах інтервальної невизначеності параметрів через рішення двох зазначених повністю певних завдань оптимізації. Також сформульована і доведена теорема, визначальна необхідна і достатня умова існування розв’язку задачі умовної оптимізації при інтервальної невизначеності. Побудований четирехшаговий алгоритм вирішення задачі умовної оптимізації при інтервальної невизначеності параметрів, який реалізує метод детермінізації. Наведено приклад роботи алгоритму; в якості розв’язуваної задачі обрана інтервальна задача про призначення. Проведено порівняння викладеного підходу до вирішення задач умовної оптимізації з неповністю визначеними параметрами з іншими методами вирішення таких завдань (детермінований, імовірнісний і нечіткий). Вказані достоїнства і недоліки різних методів. Підкреслено, що запропонований підхід дозволяє зводити оптимізацію неповністю певних функцій до оптимізації повністю певних функцій строго математично, а не евристично, як це робиться в інших відомих підходах. EN: The existing approaches to the optimization (optimal design) of systems under uncertainty are considered. An exact formulation of problem of constrained optimization under interval uncertainty of the parameters of the objective function and constraints is given. In this connection the mathematical theory of comparison of intervals is set out, including a precise definition of the maximal and minimal intervals, conditions for existence of such intervals and algorithms for finding them. Idea of solving constrained optimization problems under interval uncertainty of its parameters is proposed. This idea is based on the rules of the mathematical theory of comparison of intervals which allows replace the comparison of intervals and determination of maximal and minimal interval by comparing their lower and upper bounds. On basis of the proposed idea the determination method which allows solve the problem of constrained optimization under interval uncertainty parameters by reducing it to two entirely certain optimization problems of the same type is formulated and proved. We formulate and prove a theorem that defines the solution of the problem of constrained optimization under interval uncertainty of parameters through solutions of two fully certain optimization problems. Also the theorem that defines the necessary and sufficient condition for existence of a solution of constraint optimization under interval uncertainty is formulated and proved. The algorithm of solving constrained optimization under interval uncertainty parameters that implements a method of determination is constructed and consists of 4 steps. The example of the algorithm is given. The interval assignment task is selected as a problem to be solved is selected. A comparison of our approach to solving constrained optimization problems with incompletely defined parameters with other methods for solving such problems (deterministic, probabilistic and fuzzy) is done. Advantages and disadvantages of different methods are listed. It is emphasized that the proposed in the article approach allows us to reduce the optimization of incompletely specified functions to fully optimize certain functions strictly mathematically rather than heuristically, as is done in well-known approaches.