Application of spline functions and walsh functions in problems of parametric identification of linear nonstationary systems

Abstract

EN: Context. In this article, a generalized parametric identification procedure for linear nonstationary systems is proposed, which uses spline functions and orthogonal expansion in a series according to the Walsh function system, which makes it possible to find estimates of the desired parameters by minimizing the integral quadratic criterion of discrepancy based on solving a system of linear algebraic equations for a wide class of linear dynamical systems. The accuracy of parameter estimation is ensured by constructing a spline with a given accuracy and choosing the number of terms of the Walsh series expansion when solving systems of linear algebraic equations by the A. N. Tikhonov regularization method. To improve the accuracy of the assessment, an algorithm for adaptive partitioning of the observation interval is proposed. The partitioning criterion is the weighted square of the discrepancy between the state variables of the control object and the state variables of the model. The choice of the number of terms of the expansion into the Walsh series is carried out on the basis of adaptive approximation of non-stationary parameters in the observation interval, based on the specified accuracy of their estimates. The quality of the management of objects with variable parameters is largely determined by the accuracy of the evaluation of their parameters. Hence, obtaining reliable information about the actual nature of parameter changes is undoubtedly an urgent task. Objective. Improving the accuracy of parameter estimation of a wide class of linear dynamical systems through the joint use of spline functions and Walsh functions. Method. A generalized parametric identification procedure for a wide class of linear dynamical systems is proposed. The choice of the number of terms of the expansion into the Walsh series is made on the basis of the proposed algorithm for adaptive partitioning of the observation interval. Results. The results of modeling of specific linear non-stationary systems confirm the effectiveness of using the proposed approaches to estimating non-stationary parameters. Conclusions. The joint use of spline functions and Walsh functions makes it possible, based on the proposed generalized parametric identification procedure, to obtain analytically estimated parameters, which is very convenient for subsequent use in the synthesis of optimal controls of real technical objects. This procedure is applicable to a wide class of linear dynamical systems with concentrated and distributed parameters. UK: Актуальність. У статті запропоновано узагальнену процедуру параметричної ідентифікації лінійних нестаціонарних систем, яка використовує сплайн-функції та ортогональне розкладання в ряд за системою функцій Уолша, що дозволяє знаходити оцінки шуканих параметрів шляхом мінімізації інтегрального квадратичного критерію незбіжності на основі розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь для широкого класу лінійних динамічних систем. Точність оцінювання параметрів забезпечується побудовою сплайна із заданою точністю та вибором кількості членів розкладу в ряд Уолша при розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом регуляризації А. Н. Тихонова. Для підвищення точності оцінки запропоновано алгоритм адаптивного розбиття інтервалу спостереження. Критерієм розбиття є зважений квадрат розбіжності між змінними стану об’єкта керування та змінними стану моделі. Вибір кількості членів розкладу в ряд Уолша здійснюється на основі адаптивної апроксимації нестаціонарних параметрів на інтервалі спостереження, виходячи із заданої точності їх оцінок. Якість управління об’єктами зі змінними параметрами значною мірою визначається точністю оцінювання їх параметрів. Тому отримання достовірної інформації про дійсний характер зміни параметрів є, безперечно, актуальною задачею. Мета. Підвищення точності оцінювання параметрів широкого класу лінійних динамічних систем шляхом спільного використання сплайн-функцій та функцій Уолша. Метод. Запропоновано узагальнену процедуру параметричної ідентифікації широкого класу лінійних динамічних систем. Вибір кількості членів розкладу в ряд Уолша здійснюється на основі запропонованого алгоритму адаптивного розбиття інтервалу спостереження. Результати. Результати моделювання конкретних лінійних нестаціонарних систем підтверджують ефективність використання запропонованих підходів до оцінювання нестаціонарних параметрів. Висновки. Спільне використання сплайн-функцій та функцій Уолша дозволяє на основі запропонованої узагальненої процедури параметричної ідентифікації отримати оцінку параметрів в аналітичному вигляді, що є дуже зручним для подальшого використання при синтезі оптимальних систем управління реальними об’єктами. Дана процедура застосовна до широкого класу лінійних динамічних систем з зосередженими та розподіленими параметрами.