Investigation of temperature modes in thermosensitive non-uniform elements of radioelectronic devices

Abstract

EN: Context. The non-linear boundary value problem of heat conduction for a thermosensitive non-homogeneous strip-shaped element of a radio-electronic system with a through inclusion has been solved whose analytical-numerical solution enables us to analyze temperature regimes in the element. Objective. Is to develop such a method of linearization of mathematical model of heat conduction which enables us to obtain analytical numerical solution of the corresponding non-linear boundary value problem for determination of temperature field in elements of radio electronic devices, which are geometrically represented by a thermosensitive plate with a through inclusion. Method. A linearizing function which enables us to partially linearize the initial non-linear mathematical model of heat conduction for a thermosensitive non-homogeneous element of a radio electronic system in the form of “plate-inclusion” structure has been suggested. The introduced piece-wise linear approximation of temperature on plate-inclusion interfaces has enabled us to completely linearize the corresponding partially linearized boundary value problem relative to the linearizing function. After this, it became possible to apply Fourier’s integral transformation to the obtained linear problem with respect to one of the spatial coordinates, as well as to determine the linearizing function. The linear dependence of the coefficient of heat conductivity on temperature for structure materials with the use of the linearizing function has been considered. By solving the boundary value problem, the formulae for determination of temperature field in the “plate-inclusion” thermosensetive structure have been obtained. Results. The obtained formulae for determination of temperature field in a thermosensitive non-homogeneous element of radio electronic system were used to create the software which enables us to obtain distribution of value of temperature and to analyze temperature regimes. Conclusions. A mathematical model for the calculation for the temperature field in a “plate-inclusion” thermosensitive structure is adequate to the actual physical process, because no jump of temperature at “plate-inclusion” interfaces is observed. The numerical results for the chosen materials under linear dependence of the coefficient of thermoconductivity on temperature differ by 7% from the results which are obtained for constant coefficient of heat conductivity. Prospect of further investigation will consider more complicated geometric representation of elements of radio electronic systems. UK: Актуальність. Розв’язано нелінійну крайову задачу теплопровідності для термочутливого неоднорідного елемента радіоелектронної системи у вигляді смуги з наскрізним включенням, аналітично-числовий розв’язок якої дає змогу аналізувати у ньому температурні режими. Мета роботи – розробка методу лінеаризації нелінійної математичної моделі теплопровідності, який дає змогу отримати аналітично-числовий розв’язок відповідної нелінійної крайової задачі для визначення температурного поля в елементі радіоелектронних пристроїв, які геометрично зображено термочутливою пластиною з наскрізним включенням. Метод. Запропоновано лінеаризуючу функцію, яка дає змогу частково лінеаризувати вихідну нелінійну математичну модель теплопровідності для термочутливого неоднорідного елемента радіоелектронної системи у вигляді конструкції «пластина-включення». Введена кусково-лінійна апроксимація температури на поверхнях спряження пластини з включенням дозволила повністю лінеаризувати відповідну частково лінеаризовану крайову задачу відносно лінеаризуючої функції. Після цього стало можливим застосувати інтегральне перетворення Фур’є за однією з просторових координат до отриманої лінійної задачі та визначити лінеаризуючу функцію. Розглянуто лінійну залежність коефіцієнта теплопровідності від температури для конструкційних матеріалів з використанням лінеаризуючої функції. Шляхом розв’язання крайової задачі отримано формули для визначення температурного поля в термочутливій конструкції «пластина-включення». Результати. Із використанням отриманих формул для визначення температурного поля у термочутливому неоднорідному елементі радіоелектронної системи створено обчислювальні програми, які дають змогу отримати числові значення розподілу температури та аналізувати температурні режими. Висновки. Розроблена математична модель розрахунку температурного поля в термочутливій конструкції «пластина-включення» є адекватною до реального фізичного процесу так як не спостерігається стрибка температури на поверхнях спряження пластини з включенням. Числові результати для вибраних матеріалів за лінійної залежності коефіцієнта теплопровідності від температури відрізняються від результатів, отриманих для сталого коефіцієнта теплопровідності, на 7%. Перспективи подальших досліджень полягатимуть у розгляді складніших геометричних зображень елементів радіоелектронних систем.