Расчет балки переменного сечения на упругом основании квазианалитическим методом с учетом граничных условий

Abstract

RUS: Цель работы. Совершенствование квазианалитического метода решения нелинейных дифференциальных уравнений и его апробация применительно к балкам переменного сечения на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Методы исследования. К системе линейных алгебраических уравнений, получающейся после подстановки в нелинейное дифференциальное уравнение аппроксимирующей функции с постоянными коэффициентами (например – степенной) и задания набора фиксированных значений переменной, граничные условия добавляются в виде необходимого числа соответственно преобразованных уравнений. В случае последующего аналитического решения общее количество уравнений должно соответствовать количеству постоянных коэффициентов. Полученные результаты. В ходе апробации была определена упругая линия трапециевидной бетонной балки с прямоугольным сечением переменной высоты на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Усредненная погрешность решения составила 0,06 %. Были исследованы распределения по длине балки изгибающих моментов и нормальных напряжений. Научная новизна. Авторам не встречался в литературных источниках такой метод решения нелинейных дифференциальных уравнений. Практическая ценность. Предложенный квазианалитический метод с реализованным учетом граничных условий может быть использован для решения дифференциальных уравнений любого порядка с нелинейностями различного типа, в том числе – при расчетах балок переменного сечения на упругом основании. UK: Мета роботи. Удосконалення квазіаналітичного методу рішення нелінійних диференційних рівнянь та його апробація стосовно балок змінного перерізу на пружній основі з двома коефіцієнтами постелі. Методи досліджень. До рішення системи лінійних алгебраічних рівнянь, що утворюється після підстановки у нелінійне диференційне рівняння апроксимуючої функції з постійними коефіцієнтами (наприклад – степеневої) та задання набору фіксованих значень змінної, граничні умови додаються у вигляді необхідної кількості відповідним чином перетворених рівнянь. У випадку подальшого аналітичного вирішення загальна кількість рівнянь має відповідати кількості постійних коефіцієнтів. Отримані результати. У ході апробації була визначена пружна лінія трапецієподібної бетонної балки з прямокутним перерізом змінної висоти на пружній основі з двома коефіцієнтами постелі. Усереднена похибка рішення склала 0,06 %. Було досліджено розподіли по довжині балки згинальних моментів та нормальних напружень. Наукова новизна. Автори не зустрічали у літературних джерелах такий метод рішення нелінійних диференційних рівнянь. Практична цінність. Запропонований квазіаналітичний метод з реалізованим урахуванням граничних умов може бути використано для рішення диференційних рівнянь будь-якого порядку з нелінійностями різного типу, у тому числі – при розрахунках балок змінного перерізу на пружній основі. EN: Purpose. Improvement of the quasi-analytical method of nonlinear differential equation solution and its approbation with reference to beams of variable cross-section on the elastic base with two base factors. Research methods. Boundary conditions in the form of required number of correspondently transformed equations are added to the system of the linear algebraic equations which results from substitution of approximating function with constant factors (for example – power function) in the nonlinear differential equation and fixation of a set of variable values. The total number of the equations have to correspond to quantity of constant factors if the further solution will be carried out by an analytical method. Results. Deflection diagram of a trapezoid concrete beam with rectangular cross-section of variable height on the elastic base with two base factors has been calculated during approbation. Average solution error was equal to 0.06%. Distributions of the bending moments and normal stresses along the beam have been researched. Scientific novelty. The authors did not meet in literature such method of nonlinear differential equation solution. Practical value. The quasi-analytical method with realised consideration of boundary conditions that has been offered can be used for solution of differential equations of any order with various types of nonlinearity, including calculations of beams of variable cross-section on the elastic base.