Исследование систем массового обслуживания с сдвинутыми эрланговскими и экспоненциальными входными распределениями

Abstract

RU: Актуальность. В теории массового обслуживания исследования систем G/G/1 особо актуальны в связи с тем, что до сих пор не существует решения в конечном виде в общем случае. Рассмотрена задача вывода решения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме для обычных систем с эрланговскими и экспоненциальными входными распределениями и для этих же систем со сдвинутыми вправо распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы – среднего времени ожидания требований в очереди для трех видов систем массового обслуживания типа G/G/1 с обычными и со сдвинутыми эрланговскими и экспоненциальными входными распределениями. Метод. Для решения поставленной задачи использован классический метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли, который позволяет получить решение для среднего времени ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли играет важную роль в теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Впервые получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для трех видов систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди для вышеуказанных систем в замкнутой форме. Выводы. Введение параметра сдвига во времени в законы распределения входного потока и времени обслуживания для рассматриваемых систем, преобразует их в системы запаздыванием с меньшим временем ожидания. Это связано с тем, что операция сдвига во времени уменьшает величину коэффициентов вариаций интервалов между поступлениями требований и их времени обслуживания, а как известно из теории массового обслуживания, среднее время ожидания требований связано с этими коэффициентами вариаций квадратичной зависимостью. Если система с эрланговскими входными распределениями второго порядка работает только при одном определенном точечном значении коэффициентов вариаций интервалов между поступлениями требований и их времени обслуживания, то эта же система со сдвинутыми распределениями позволяет оперировать с интервальными значениями коэффициентов вариаций, что расширяет область применения этих систем. Аналогично обстоит дело и со сдвинутыми экспоненциальными распределениями. Кроме того, сдвинутое экспоненциальное распределение содержит два параметра и позволяет аппроксимировать произвольные законы распределения с использованием двух первых моментов. Такой подход позволяет рассчитать среднее время ожидания для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Все остальные характеристики систем являются производными от времени ожидания. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемых систем позволяет получить решение в замкнутой форме и эти полученные решения публикуется впервые. UK: Актуальність. У теорії масового обслуговування дослідження систем G/G/1 особливо актуальні у зв’язку з тим, що до цих пір не існує рішення в кінцевому вигляді у загальному випадку. Розглянуто задачу виведення рішення для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі для звичайних систем з ерлангівським і експонентним вхідними розподілами і для цих же систем зі зсунутими вправо розподілами. Мета роботи. Отримання рішення для основної характеристики системи – середнього часу очікування вимог в черзі для трьох видів систем масового обслуговування типу G/G/1 зі звичайними і з зсунутими ерлангівським і експонентним вхідними розподілами. Метод. Для вирішення поставленого завдання використаний класичний метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі, який дозволяє отримати рішення для середнього часу очікування для розглянутих систем в замкнутій формі. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі грає важливу роль в теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів використаний відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Вперше отримано спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для трьох видів систем, за допомогою яких виведені розрахункові вирази для середнього часу очікування в черзі для вищевказаних систем в замкнутій формі. Висновки. Введення параметра зсуву в часі в закони розподілу вхідного потоку і часу обслуговування для розглянутих систем, перетворює їх в системи запізненням з меншим часом очікування. Це пов’язано з тим, що операція зсуву в часі зменшує величину коефіцієнтів варіацій інтервалів між надходженнями вимог і їх часу обслуговування, а як відомо з теорії масового обслуговування, середній час очікування вимог пов’язаний з цими коефіцієнтами варіацій квадратичною залежністю. Якщо система з ерланговськими вхідними розподілами другого порядку працює тільки при одному певному точковому значенні коефіцієнтів варіацій інтервалів між надходженнями вимог і їх часу обслуговування, то ця ж система з зсунутими розподілами дозволяє оперувати з інтервальними значеннями коефіцієнтів варіацій, що розширює сферу застосування цих систем. Аналогічно йде справа і з зсунутими експонентними розподілами. Крім того, зрушений експоненціальний розподіл містить два параметри і дозволяє апроксимувати довільні закони розподілу з використанням двох перших моментів. Такий підхід дозволяє розрахувати середній час очікування для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Всі інші характеристики систем є похідними від часу очікування. EN: Context. In queuing theory, the study of G/G/1 systems is particularly relevant due to the fact that until now there is no solution in the final form in the general case. The problem of the derivation in closed form of the solution for the average waiting time in the queue for ordinary systems with erlangian and exponential input distributions and for the same systems with shifted distributions is considered. Objective. Obtaining a solution for the main system characteristic – the average waiting time for queue requirements for three types of queuing systems of type G/G/1 with conventional and shifted erlangian and exponential input distributions. Method. To solve this problem, we used the classical method of spectral decomposition of the solution of Lindley integral equation, which allows one to obtain a solution for average the waiting time for systems under consideration in a closed form. The method of spectral decomposition of the solution of Lindley integral equation plays an important role in the theory of systems G/G/1. For the practical application of the results obtained, the well-known method of moments of probability theory is used. Results. The spectral decompositions of the solution of the Lindley integral equation for the three kinds of systems were first obtained with the help of which the calculated expressions for the average waiting time in the queue for the above systems in a closed form were derived. Conclusions. The introduction of the time shift parameter in the laws of input flow distribution and service time for the systems under consideration turns them into systems with a delay with a shorter waiting time. This is due to the fact that the time shift operation reduces the coefficient of variation in the intervals between the receipts of the requirements and their service time, and as is known from queuing theory, the average wait time of requirements is related to these coefficients of variation by a quadratic dependence. The system with erlangian input distributions of the second order is applicable only at a certain point value of the coefficients of variation of the intervals between the receipts of the requirements and their service time. The same system with shifted distributions allows us to operate with interval values of coefficients of variations, which expands the scope of these systems. Similarly the situation and with the shifted exponential distributions is. In addition, the shifted exponential distribution contains two parameters and allows one to approximate arbitrary distribution laws using the first two moments. This approach allows us to calculate the average latency for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. All other characteristics of the systems are derived from the waiting time. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration makes it possible to obtain a solution in a closed form and these solutions are published for the first time.