Restoration of discontinuous functions by discontinuous interlination splines

Abstract

EN: Context. The problem of development and research of methods for approximation of discontinuous functions by discontinuous interlination splines and its further application to problems of computed tomography. The object of the study was the modeling of objects with a discontinuous internal structure. Objective. The aim of this study is to develop a general method for constructing discontinuous interlining polynomial splines, which, as a special case, include discontinuous and continuously differentiated splines. Method. Modern methods of restoring functions are characterized by new approaches to obtaining, processing and analyzing information. There is a need to build mathematical models in which information can be represented not only by function values at points, but also in the form of a set of function traces on planes or straight lines. At the same time, practice shows that among the multidimensional objects that need to be investigated, more problems are described by a discontinuous functions. The paper develops a general method for constructing discontinuous interlining polynomial splines, which, as a special case, include discontinuous and continuously differentiable splines. It is considered that the domain of the definition of the required two-dimensional function is divided into rectangular elements. Theorems on interlination and approximation properties of such discontinuous constructions are formulated and proved. The method is developed for approximating discontinuous functions of two variables based on the constructed discontinuous splines. The input data are the traces of an unknown function along a given system of mutually perpendicular straight lines. The proposed method has not only theoretical significance but also practical application in the IT domain, especially in computing tomography, allowing more accurately restore the internal structure of the body. Results. The discontinuous interlination operator from known traces of the function of two variables on a system of mutually perpendicular straight lines is researched. Conclusions. The functions of two variables that are discontinuous at some points or on some lines are better approximated by discontinuous spline interlinants. At the same time, equally high approximation estimates can be obtained. The results obtained have significant advantages over existing methods of interpolation and approximation of discontinuous functions. In further research, the authors plan to develop a theory of discontinuous splines on areas of complex shape bounded by arcs of known curves. UK: Актуальність. Проблема розробки та дослідження методів апроксимації розривних функцій розривними інтерлінаційними сплайнами та її подальше застосування до задач комп’ютерної томографії. Об’єктом дослідження є моделювання об’єктів з розривною внутрішньою структурою. Мета роботи – дослідження та розробка загального методу побудови розривних інтерлінаційних поліноміальних сплайнів, які, як окремий випадок, включають розривні та неперервно-диференційовані сплайни. Метод. Сучасні методи відновлення функцій характеризуються новими підходами до отримання, обробки та аналізу інформації. Виникає потреба в побудові математичних моделей, в яких інформація може бути представлена не тільки значеннями функції в точках, а й у вигляді набору слідів функцій на площинах або прямих. Водночас практика показує, що серед багатовимірних об’єктів, які потребують дослідження, більше проблем описуються розривними функціями. У статті розроблено загальний метод побудови розривних інтерлінаційних поліноміальних сплайнів, до складу яких, як окремий випадок, входять розривні та неперервно диференційовані сплайни. Вважається, що область визначення шуканої двовимірної функції розбита на прямокутні елементи. Сформульовано та доведено теореми про інтерлінаційні та апроксимаційні властивості таких розривних конструкцій. Розроблено метод апроксимації розривних функцій двох змінних на основі побудованих розривних сплайнів. Вхідними даними є сліди невідомої функції вздовж заданої системи взаємно перпендикулярних прямих. Запропонований метод має не тільки теоретичне значення, а й практичне застосування в сфері ІТ, особливо в комп’ютерній томографії, що дозволяє більш точно відновити внутрішню структуру організму. Результати. Досліджено оператор розривної інтерлінації за відомими слідами функції двох змінних на системі взаємно перпендикулярних прямих. Висновки. Функції двох змінних, які є розривними в деяких точках або на деяких лініях, краще апроксимуються розривними інтерлінаційними сплайнами. При цьому можна отримати однаково високі оцінки наближення. Отримані результати мають значні переваги перед існуючими методами інтерполяції та апроксимації розривних функцій. У подальших дослідженнях автори планують розвинути теорію розривних сплайнів на ділянках складної форми, обмежених дугами відомих кривих.