Research of two systems E2/H2/1 with ordinary and shifted distributions by the spectral decomposition method

Abstract

EN: Context. In the queueing theory, the studies of G/G/1 systems are relevant because it is impossible to obtain solutions for the waiting time in the final form in the general case with arbitrary laws of distributions of the input flow and of the service time. Therefore, the study of such systems for particular cases of input distributions is important. The problem of deriving a solution for the average waiting time in a queue in closed form for a pair of systems with ordinary and with shifted Erlang and hyperexponential input distributions is considered. Objective. Obtaining a solution for the main system characteristic – the average waiting time in queue for two queuing systems of type G/G/1 with conventional and with shifted second-order Erlang and Hyperexponential input distributions. Method. To solve this problem, we used the classical spectral decomposition method for solving the Lindley integral equation, which plays an important role in the theory of G/G/1 systems. This method allows obtaining a solution for the average waiting time for the considered systems in a closed form. For the practical application of the obtained results, the well-known probability theory moments method is used. Results. For the first time, spectral expansions of the solution of the Lindley integral equation are obtained for two systems, with the help of which the formulas for the average waiting time in the queue are derived in closed form. Conclusions. Spectral expansions of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration are obtained and their complete coincidence is proved. Consequently, the formulas for the average waiting time in the queue for these systems are the same, but with modified parameters. It is shown that in the system with a delay in time, the average waiting time is less than in a conventional system. The resulting for waiting time formulas expand and supplement the known queuing theory incomplete formula for the average waiting time for G/G/1 systems with arbitrary laws distributions of input flow and service time. This approach allows us to calculate the average latency for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. All other characteristics of the systems are derived from the waiting time. In addition to the average waiting time, such an approach makes it possible to determine also moments of higher orders of waiting time. Given the fact that the packet delay variation (jitter) in telecommunications is defined as the spread of the waiting time from its average value, the jitter can be determined through the variance of the waiting time. The results are published for the first time. UK: Актуальність. В теорії масового обслуговування дослідження систем G/G/1 актуальні в зв’язку з тим, що не можна отримати рішення для часу очікування в кінцевому вигляді в загальному випадку при довільних законах розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Тому важливі дослідження таких систем для окремих випадків вхідних розподілів. Була розглянута задача виведення рішення для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі для двох систем зі звичайними і зі зсунутими ерлангівськими та гіперекспонентними вхідними розподілами. Мета роботи. Отримання рішення для основної характеристики системи – середнього часу очікування вимог в черзі для двох систем масового обслуговування типу G/G/1 зі звичайними та зі зсунутими ерлангівськими та гіперекспонентними вхідними розподілами. Метод. Для вирішення поставленого завдання був використаний класичний метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі. Цей метод дозволяє отримати рішення для середнього часу очікування для розглянутих систем в замкнутій формі. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі грає важливу роль в теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів було використано відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Вперше отримано спектральне розкладання рішення інтегрального рівняння Линдли для двох систем, за допомогою якого виведено розрахункове вираз для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі. Висновки. Отримано спектральне розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для розглянутих систем, та з їх допомогою виведено розрахункове вираз для середнього часу очікування в черзі для цих систем в замкнутій формі. Показано, що в системі з запізненням у часі середній час очікування менше, ніж у звичайній системі. Отримане розрахункове вираз для часу очікування розширює і доповнює відому незавершену формулу теорії масового обслуговування для середнього часу очікування для систем G/G/1 з довільними законами розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Такий підхід дозволяє розрахувати середній час очікування для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Всі інші характеристики систем є похідними часу очікування. Крім середнього часу очікування, такий підхід дає можливість також визначити моменти вищих порядків часу очікування. З огляду на той факт, що варіація затримки пакетів (джиттер) в телекомунікації визначається як дисперсія часу очікування від його середнього значення, то джиттер можна буде визначити через дисперсію часу очікування. Отримані результати публікуються вперше.