Моделирование и анализ параметров электропорации мембраны биологической клетки в импульсном электрическом поле с изменяемой напряженностью

Abstract

RU: Актуальность. В работе с помощью методов нелинейной аппроксимации решена задача построения моделей электропорации мембран биологических клеток по экспериментальным зависимостям их удельной электропроводности от напряженности импульсного электрического поля. Цель работы – построение моделей, адекватно описывающих экспериментально полученные нелинейные эффекты проводимости клетки, включая обратимую электропорацию, необратимый электропробой или локальный обратимый электропробой мембран при слиянии двух контактирующих клеток. Методы. В качестве функций, моделирующих экспериментальные данные, выбраны полиномы 8–10 степеней, а критериями оценки параметров электропорации определены координаты локальных экстремумов их кривизны и точек перегиба, которые характеризуют конкретное состояние мембраны клетки при данной напряженности поля. Задача аппроксимации решалась методом наименьших квадратов. Вычисление оценки коэффициентов полиномов производилось методом Гаусса – реализованы прямой и обратный ход. Имеется возможность отыскивать экстремумы полученных полиномов высоких степеней, задавая погрешность вычислений. Для подбора степени полинома использована среднеквадратическая ошибка аппроксимации. Вычислив первые и вторые производные проводимости, рассчитывается текущая кривизна полинома. Полученные предложенными методами значения кривизны позволяют определить точки перегиба кривой для определения электропробоя мембраны клетки. Результаты. Разработано прикладное программное обеспечение, с помощью которого построены полиномиальные модели проводимости биологической клетки в изменяемом по напряженности импульсном электрическом поле и проведен их количественный математический анализ. Все указанные расчеты подтверждаются графиками, часть из которых можно просмотреть в увеличенном масштабе. Выводы. Вычислены параметры электропорации мембраны биологической клетки, полученные путем анализа функции кривизны полиномиальных моделей. Разработанные аналитические методы и программное обеспечение для определения параметров электропорации позволяют рекомендовать их для использования на практике при вычислении числовых значений напряженности поля и проводимости, при которых обеспечиваются конкретные режимы электропорации мембраны биологической клетки. UK: Актуальність. В роботі за допомогою методів нелінійної апроксимації розв’язана задача побудови моделей електропорації мембран біологічних клітин за експериментальними залежностями їх питомої електропровідності від напруженості імпульсного електричного поля. Мета роботи – побудова моделей, що адекватно описують експериментально отримані нелінійні ефекти провідності клітини, включаючи зворотню електропорацію, незворотній електропробій або локальний зворотній електропробій мембран при злитті двох контактуючих клітин. Метод. В якості функцій, що моделюють експериментальні, обрані поліноми 8–10 степеня, а критеріями оцінки параметрів електропорації визначені координати локальних екстремумів їх кривизни і точок перегину, які характеризують конкретний стан мембрани клітини при даній напруженості поля. Задача апроксимації розв’язувалась методом найменших квадратів. Обчислення оцінки коефіцієнтів поліномів здійснене методом Гауса – реалізовані прямий і зворотний хід. Є можливість відшукувати екстремуми отриманих поліномів високих степенів, задаючи похибку обчислень. Для підбору степеня полінома використана середньоквадратична помилка апроксимації. Обчисливши перші і другі похідні провідності, розраховується поточна кривизна полінома. Значення кривизни полінома, що отримані запропонованими методами, дозволяють визначити точки перегину кривої для визначення електропробою мембрани клітини. Результати. Розроблено прикладне програмне забезпечення, за допомогою якого побудовані поліноміальні моделі провідності біологічної клітини в імпульсному електричному полі з напруженістю, що змінюється, та проведено їх кількісний математичний аналіз. Всі указані розрахунки підтверджуються графіками, частину з яких можна переглянути у збільшеному масштабі. Висновки. Обчислено параметри електропорації мембрани біологічної клітини, що отримані шляхом аналізу функції кривизни поліноміальних моделей. Розроблені аналітичні методи і програмне забезпечення для визначення параметрів електропорації дозволяють рекомендувати їх для використання на практиці при обчисленні числових значень напруженості поля і провідності, при яких забезпечуються конкретні режими електропорації мембрани біологічної клітини. EN: Context. The problem of constructing electroporation models for membranes of biological cells by the methods of nonlinear approximation using the experimental dependences of their specific electric conductivity on intensity pulsed electric field was solved in the paper. Objective is a construction of models, which adequately describe the experimentally obtained nonlinear effects of the conductivity of the cell, including reversible electroporation, irreversible electrical breakdown or local reversible electrical breakdown of membranes at the fusion of two contacting cells. Method. Polynomials of 8–10 degrees are chosen as the functions that modelling the experimental ones and the criteria for estimating the parameters of electroporation are the coordinates of the local extrema of their curvature and inflexion points that characterize the specified state of the cell membrane at current field intensity. The approximation problem was solved by the least squares method. The calculation of the estimate of the polynomials coefficients was carried out by the Gaussian elimination – the forward and reverse moves were realized. It is possible to search for extrema of the obtained polynomials of high degrees by specifying a calculation error. The root-mean-square error of the approximation is used for finding the degree of the polynomial. The current curvature of the polynomial is counted by calculating the first and second order derivatives of conductivity. The values of the curvature, which obtained via these methods, make possible to determine the inflexion points of the curve for purpose to determine breakdown of a cell membrane. Results. Applied software was developed, polynomial models of the conductivity of a biological cell in a varied intensity pulsed electric field were constructed and their quantitative mathematical analysis was carried out by using this software. All these calculations are proved by graphs, some of which can be viewed on an enlarged scale. Conclusions. The parameters of electroporation of a biological cell membrane obtained by analysing the curvature function of polynomial models are calculated. The developed analytical methods and software for determining the parameters of electroporation allow us to recommend them for use in practice in calculating the numerical values of the field intensity and conductivity at which specific electroporation regimes of the biological cell membrane are provided.