Cubature formula for approximate calculation integral of highly oscillating function of tree variables (irregular case)

Abstract

EN: Context. The integrals of highly oscillating functions of many variables are one of the central concepts of digital signal and image processing. The object of research is a digital processing of signals and images using new information operators. Objective. The work aims to construct a cubature formula for the approximate calculation of the triple integral of a rapidly oscillating function of a general form. Method. Modern methods of digital signal processing are characterized by new approaches to obtaining, processing and analyzing information. There is a need to build mathematical models in which information can be given not only by the values of the function at points, but also as a set of traces of the function on the planes and as a set of traces of the function on the lines. There are algorithms which are optimal by accuracy for calculating the integrals of highly oscillating functions of many variables (regular case), which involve different types of information in their construction. As a solution of a broader problem for the irregular case, the work presents the cubature formula for the approximate calculation of the triple integral of the highly oscillating function in a general case. The presented algorithm for approximate calculation of the integral is based on the application of operators that restore the function of three variables using a set of traces of functions on the mutually perpendicular planes. Operators use piece-wise splines as auxiliary functions. The cubature formula correlates with a formula of the Filon type. An error estimation of the approximation of the integral from the highly oscillating function by the cubature formula on the class of differential functions is obtained. Results. The cubature formula of the approximate calculation of the triple integral from the highly oscillating function of a general form is researched. Conclusions. The experiments confirm the obtained theoretical results on the error estimation of the approximation triple integral from the highly oscillating function in a general form by the cubature formula. The prospect of further research is to obtain an estimation of the approximation error on wider classes of functions and to prove that the proposed cubature formula is optimal by the order of accuracy. UK: Актуальність. Інтеграли від швидкоосцилюючих функцій багатьох змінних є одним з центральних понять цифрової обробки сигналів та зображень. Об’єктом дослідження є цифрова обробки сигналів та зображень з використанням нових інформаційних операторів. Мета роботи – побудова кубатурної формули наближеного обчислення потрійного інтегралу від швидкоосцилюючої функції загального виду. Інформація про функції задається наборами слідів функцій на площинах. Метод. Сучасні методи цифрової обробки сигналів характеризуються новими підходами до отримання, обробки та аналізу інформації. Є необхідність будувати математичні моделі, в яких інформація може задаватися не тільки значеннями функції в точках, а і як сукупність слідів функції на площинах, як набір слідів функції на лініях. Існують оптимальні за точністю алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій багатьох змінних (регулярний випадок), які в своїй побудові передбачають різні типи задання інформації. Як розв’язання більш широкої задачі для нерегулярного випадку в роботі представлено кубатурну формулу наближеного обчислення потрійного інтегралу від швидкоосцилюючої функції у загальному виді. Представлений алгоритм наближеного обчислення інтегралу базується на використанні операторів, які відновлюють функцію трьох змінних з використанням набору слідів функцій на взаємоперпендикулярних площинах. Оператори використовують в якості допоміжних функцій кусково-сталі сплайни. Кубатурна формула відноситься до формул типу Файлона. Отримана оцінка похибки наближення інтегралу від швидкоосцилюючої функції кубатурною формулою на класі диференційовних функцій. Результати. Досліджена кубатурна формула наближеного обчислення потрійного інтегралу від швидкоосцилюючої функції загального виду. Висновки. Проведені експерименти підтвердили отримані теоретичні результати щодо оцінки похибки наближення потрійного інтегралу від швидкоосцилюючої функції загального виду кубатурною формулою. Перспективою подальших досліджень є отримання оцінки похибки наближення на більш широких класах функцій. А також довести, що запропонована кубатурна формула є оптимальною за порядком точності.