Гибридное представление сплошных тел с использованием неявных и параметрических функций

Abstract

RU: Актуальность. Рассмотрена проблема представления сплошных тел в системах автоматизации проектных работ. Объектом исследования является прооцесс представления сплошных тел в системах автоматизации проектных работ. Цель работы – разработка гибридной схемы представления сплошных тел, использующей неявные функций, R-операций и параметрические функции. Метод. Для моделирования сплошных тел в статье предложено гибридное представление. Под абстрактным понятием «сплошное тело» в работе понимаются ограниченные и замкнутые подмножества евклидова пространства, которые моделируют физические тела; под схемой представления – синтаксически и семантически корректное отношение между множеством формальных описаний математических моделей и множеством сплошных тел. В основе гибридного представления идея одновременного использования граничного и функционального представлений. Предполагается, что при граничном представлении, области определяются своими границами, описанными при помощи параметрических функций, а при функциональном представлении – при помощи неявных функций с использованием положений теории R-функций. Для гибридного представления используются функции расстояния со знаком, которые позволяют рассматривать подобласти, описанные параметрическими функциями, как аргументы R-операций (конъюнкции, дизъюнкции или отрицания) при построении единой неявной функции, соответствующей сложному телу. Чтобы в произвольной точке вычислить расстояние со знаком до границы области, ограниченной параметрическими функциями, предложено использовать вспомогательное построение адаптивных дискретных моделей контуров. Расстояние от точки до границы аппроксимируется расстоянием от этой точки до ближайшего дискретного элемента. Для определения знака функции используется тест четности. Результаты. Разработанная гибридная схема представления реализована в программном продукте, на основе которого решены задачи построения моделей сложных тел. Выводы. Проведенные вычислительные эксперименты подтвердили корректность и работоспособность предложенного математического обеспечения. Перспективы дальнейших исследований состоят в том, чтобы оптимизировать вычисление функций расстояния со знаком, например, например, при помощи технологий параллельных вычислений. UK: Актуальність. Розглянута проблема подання суцільних тіл у системах автоматизації проектних робіт. Об’єктом дослідження є процес подання суцільних тіл у системах автоматизації проектних робіт. Мета роботи – розробка гібридної схеми подання геометричних об’єктів, що використовує неявні функції R-операції та параметричні функції. Метод. Для моделювання суцільних тіл у статті запропоновано гібридне подання. Під абстрактним поняттям «суцільне тіло» у роботі розуміються обмежені замкнені підмножини евклідова простору, які моделюють фізичні тіла, а під схемою подання – синтаксично та семантично коректне відношення між множиною формальних описів математичних моделей та множиною суцільних тіл. В основі гібридного подання покладено ідею одночасного використання граничного і функціонального подань. Вважається, що при граничному поданні, області визначаються власними границями, описаними за допомогою параметричних функцій, а при функціональному поданні – за допомогою неявних функцій з використанням положень теорії R-функцій. Для гібридного подання використовуються функції відстані зі знаком, які дозволяють розглядати області, описані параметричними функціями, як аргументи R-операцій (кон’юнкції, диз’юнкції або заперечення) у процесі побудови єдиної формули для складного тіла. Щоб у довільній точці обчислити відстань зі знаком до границі області, обмеженої параметричними функціями, запропоновано використовувати допоміжну побудову адаптивних дискретних моделей контурів. Відстань від точки до границі апроксимується відстанню від цієї точки до найближчого дискретного елементу. Для визначення знаку функції використовується тест парності. Результати. Розроблена гібридна схема подання реалізована у програмному продукті, на основі якого вирішенні задачі побудови моделей складних тіл. Висновки. Проведені обчислювальні експерименти підтвердили коректність і працездатність запропонованого математичного забезпечення. Перспективи подальших досліджень можуть полягати в оптимізації обчислення функції відстані зі знаком, наприклад, за допомогою технологій паралельних обчислень. EN: Context. The present article deals with the problem of representation of solids in computer-aided design. The object of the study is a process of representation of solids in computer-aided design. Objective. The objective of the study is the development of a hybrid representation scheme which uses implicit functions, R-operations and parametric functions. Method. In the article, a hybrid representation scheme has been suggested to model solids. An abstract notion “solid” denotes bounded and closed subsets of Euclidean space, which model physical bodies. A representation scheme is a syntactically and semantically correct relation between a set of formal models and a set of solids. It is supposed that boundary represented regions are defined by parametric functions. On the other hand, functionally represented regions are defined by implicit functions. The hybrid representation scheme is based on an idea of combining the boundary representation scheme with the functional representation scheme. The hybrid representation scheme uses a signed distance function to transform regions with parametric boundaries into implicitly defined regions. Adaptive discrete models are used to evaluate a signed distance from some point to a boundary of a region which boundaries are defined by parametric functions. A distance from a point to the closest discrete element approximates a distance from a point to a boundary of a region. The parity test has been used to define a sign of a distance. Results. The developed hybrid representation scheme has been implemented in software and investigated for solving the problems of solid modeling. Conclusions. Carried out numerical experiments have confirmed the proposed software operability. The prospects for further research may include the development of parallel methods for calculation of a signed distance function.