Стабілізація дискретних систем з часовими затримками за станом та обмеженнями керуючих впливів

Abstract

UK: Актуальність. Наявність затримок у часі має місце в багатьох складних динамічних системах, поширених у сферах сучасних комунікаційних та інформаційних технологій, зокрема при вирішенні задачі стабілізації мережевих керованих систем та високошвидкісних мереж зв’язку. У багатьох випадках часові затримки призводять до зниження ефективності систем та, навіть, до порушення умов стійкості. Для аналізу стійкості та синтезу стабілізуючих регуляторів для дискретних динамічних систем з невідомими, але обмеженими часовими затримками за станом в останнє десятиліття було запропоновано багато цікавих рішень з використанням методу функціоналів Ляпунова-Красовського. Наявність нелінійних обмежень на амплітуду керуючих впливів, зокрема у вигляді насичення, додатково ускладнює задачу та потребує розробки нових підходів та методів. Мета. Мета роботи полягає у запровадженні процедури обчислення матриці коефіцієнтів зворотного зв’язку за станом, який забезпечує асимптотичну стійкість досліджуваної системи, а також процедури обчислення максимального допустимого значення часової затримки за станом, за якого може бути забезпечена стійкість замкнутої системи для заданого набору допустимих початкових умов. Метод. В роботі використано метод дескрипторного перетворення моделі замкнутої системи та запропоновано поширення методу інваріантних еліпсоїдів на системи з невідомими, але обмеженими часовими затримками за станом. Застосування методу функціоналів Ляпунова-Красовського та техніки лінійних матричних нерівностей дозволило звести задачу обчислення матриці коефіцієнтів зворотного зв’язку до задачі напіввизначеного програмування, яка вирішується чисельно. Запропоновано ітераційний алгоритм вирішення білінійної матричної нерівності для обчислення максимального допустимого значення часової затримки за станом. Результати. Результати чисельного моделювання підтверджують ефективність запропонованого підходу в задачах стабілізації дискретних систем в умовах дії часових затримок за станом та нелінійних обмежень на керуючі впливи і дозволяють рекомендувати запропонований метод для використання на практиці з метою аналізу стійкості та синтезу стабілізуючих регуляторів, а також обчислення максимального допустимого значення часових затримок. Висновки. Запропоновано підхід, який дозволяє поширити метод інваріантних еліпсоїдів на дискретні динамічні системи з невідомими, але обмеженими часовими затримками за станом для вирішення задачі стабілізації системи за допомогою статичного зворотного зв’язку за станом на основі застосування методу функціоналів Ляпунова-Красовського. Результати чисельного моделювання підтверджують ефективність запропонованого підходу в умовах наявності нелінійних обмежень на керуючі впливи типу насичення. EN: Context. The presence of time delays occurs in many complex dynamical systems, particularly in the areas of modern communication and information technologies, such as the problem of stabilizing networked control systems and high-speed communication networks. In many cases, time-delays lead to a decrease in the efficiency of such systems and even to the loss of stability. In the last decade, many interesting solutions using the Lyapunov-Krasovskii functional have been proposed for stability analysis and synthesis of a stabilizing regulator for discrete-time dynamic systems with unknown but bounded state-delays. The presence of nonlinear constraints on the amplitude of controls such as saturation further complicates this problem and requires the development of new approaches and methods. Objective. The purpose of this study is to develop a procedure for calculating the control gain matrix of state feedback that ensures the asymptotic stability of the analyzed system, as well as a procedure for calculating the maximum permissible value of the state-delay under which the stability of the closed-loop system can be ensured for a given set of admissible initial conditions. Method. The paper uses the method of descriptor transformation of the model of a closed-loop system and extends the invariant ellipsoids method to systems with unknown but bounded state-delays. The application of the Lyapunov-Krasovskii functional and the technique of linear matrix inequalities made it possible to reduce the problem of calculating the control gain matrix to the problem of semi-definite programming, which can be solved numerically. An iterative algorithm for solving the bilinear matrix inequality is proposed for calculating the maximum permissible value of the time-delay. Results. The results of numerical modeling confirm the effectiveness of the proposed approach in the problems of stabilizing discrete-time systems under the conditions of state-delays and nonlinear constraints on controls, which allows to recommend the proposed method for practical use for the problem of stability analysis and synthesis of stabilizing regulator, as well as for calculating the maximum permissible value of time-delay. Conclusions. An approach is proposed that allows extending the invariant ellipsoids method to discrete-time dynamic systems with unknown but bounded state-delays for solving the problem of system stabilization using static state feedback based on the application of the Lyapunov-Krasovskii functional. The results of numerical modeling confirm the effectiveness of the proposed approach in the presence of the saturation type nonlinear constraints on the control signals.