Synthesis method of ternary bent-functions of three variables

Abstract

EN: Context. Such perfect algebraic constructions of many-valued logic as ternary bent-functions and their truth tables which are called as 3-bent-sequences, are used very often in modern cryptographic algorithms, in particular, in pseudorandom sequence generators. However, today there are no methods for synthesizing the ternary bent-functions class for a number of variables greater than two, which significantly limits the ability to scale the number of protection levels of the of pseudorandom sequence generators based on the ternary bent-functions. This circumstance generates the task of developing methods for the synthesis of ternary bent-functions, which is solved in this paper for the case of ternary bent-functions of three variables. The object of this research is the process of efficiency increasing of the cryptographic algorithms based on the functions of many-valued logic. Objective. The purpose of the paper is to construct a method for the synthesis of the set of ternary bent-functions of three variables. Method. The mathematical apparatus of the Reed-Muller transform (algebraic normal form) was used as the basis of the proposed constructive method for the synthesis of ternary bent-functions of three variables. So, on the basis of the established properties of the algebraic normal form of ternary bent-functions and limited enumeration, the search for ternary bent-functions up to affine terms is performed, after which we apply the procedure of reproduction. Results. As a result of using of the proposed method for the synthesis of ternary bent-functions of three variables, 155844 3-bent-sequences were found up to an affine term, while the cardinality of the full set of found 3-bent-sequences is 12623364. The research performed made it possible to determine that in this set there are 3-bent-sequences of six different weight structures, on the basis of which 12 different triple sets can be compiled for use in pseudorandom sequence generators. A scheme for a cryptographically stable pseudorandom sequence generator based on the found set of 3-bent-sequences of length is proposed. It is shown that the protection levels number of such a generator of pseudorandom sequences is which is comparable with the protection levels number of modern block symmetric cryptographic algorithms, for example, AES-128. Conclusions. The further development of modern cryptographic algorithms, in particular, cryptographically stable pseudorandom sequence generators, is largely based on the use of perfect algebraic constructions of many-valued logic. For the first time, a constructive method for the synthesis of ternary bent-functions of three variables is proposed. For the found set of ternary bent-functions, the distribution of weight structures is found, and the possible triple sets are established. Based on the constructed set of ternary bent-functions, a pseudorandom sequence generator scheme is proposed that has a protection levels number that is comparable with modern block symmetric cryptographic algorithms. We note that the constructed class of ternary bent-functions can also be used for the synthesis of cryptographically strong S-boxes, codes of constant amplitude, as well as error correction codes. As an actual area of further research, we can note the development of methods for the synthesis of ternary bent-functions of a larger number of variables. UK: Актуальність. Останнім часом все частіше в сучасних криптографічних алгоритмах, зокрема, в генераторах псевдовипадкових послідовностей використовуються такі досконалі алгебраїчні конструкції багатозначної логіки, як трійкові бент-функції і їх таблиці істинності – 3-бент-последолвательності. Проте, сьогодні не існує методів синтезу класу трійкових бент-функцій для числа змінних більше двох, що істотно обмежує можливості масштабування числа рівнів захисту зазначених генераторів псевдовипадкових послідовностей. Дана обставина робить актуальним завдання розробки методів синтезу трійкових бент-функцій, яка вирішена в даній роботі для випадку трійкових бент-функцій трьох змінних. Об’єктом даного дослідження є процеси підвищення ефективності криптоалгоритмів на основі функцій багатозначної логіки. Мета. Мета статті – побудувати метод синтезу множини трійкових бент-функцій трьох змінних. Метод. В якості основи запропонованого конструктивного методу синтезу трійкових бент-функцій трьох змінних використано математичний апарат перетворення Ріда-Маллера (алгебраїчної нормальної форми). Так, на основі встановлених властивостей алгебраїчної нормальної форми трійкових бент-функцій і обмеженого перебору спочатку виконується пошук трійкових бент-функцій з точністю до афінних термів, після чого відбувається їх розмноження. Результати. В результаті використання запропонованого методу синтезу трійкових бент-функцій трьох змінних знайдено 155844 бент-функції з точністю до афінного терма, в той час як потужність повної множини знайдених 3-бент-послідовностей складає 12623364. Проведені дослідження дозволили визначити, що в даній множині є 3-бент-послідовності шести різних вагових структур, на основі яких можуть бути складені 12 різних троїстих наборів для використання в генераторах псевдовипадкових послідовностей. Запропоновано схему криптографічно стійкого генератора псевдовипадкових послідовностей на основі знайденої множини 3-бент-послідовностей довжини . Показано, що число рівнів захисту такого генератора псевдовипадкових послідовностей складає , що можна порівняти з числом рівнів захисту сучасних блокових симетричних криптоалгоритмів, наприклад, AES-128. Висновки. Подальший розвиток сучасних криптографічних алгоритмів, зокрема, криптографічно стійких генераторів псевдовипадкових послідовностей, багато в чому ґрунтується на застосуванні досконалих алгебраїчних конструкцій багатозначної логіки. В роботі вперше запропоновано конструктивний метод синтезу трійкових бент-функцій трьох змінних. Для знайденої множини трійкових бент-функцій встановлено розподіл вагових структур, а також виявлено можливі троїсті набори. На основі побудованої множини трійкових бент-функцій запропонована схема генератора псевдовипадкових послідовностей, який володіє числом рівнів захисту, яке можна порівняти з сучасними блоковими симетричними криптоалгоритмами. Відзначимо, що побудований клас трійкових бент-функцій також може бути застосований для синтезу криптографічно стійких S-блоків, кодів постійної амплітуди, а також коректуючих кодів. В якості актуального напрямку продовження проведених досліджень можна виділити побудову методів синтезу трійкових бент-функцій більшого числа змінних.