Method of numerical analysis of the problem of stationary flow past bodies of revolution by viscous fluid

Abstract

EN: The nonlinear stationary problem of flow past a body of revolution by a viscous incompressible fluid is examined in this article. Objective. The purpose of this work is to develop a new method of numerical analysis of stationary problems of flow around bodies of revolution by viscous incompressible fluid. Method. The mathematical model of the process under consideration is a nonlinear boundary value problem for the stream function obtained by the transition from the system of Navier-Stokes equations to one nonlinear equation of the fourth order. A special feature of the formulation the task of the flow past body is that the boundary value problem is considered in an infinite region and both boundary conditions on the boundary of the streamlined body and the condition at infinity are imposed for the stream function. Using the structural method (the R-functions method), the task solution structure, that exactly satisfies all the boundary conditions of the task, and also guarantees the necessary behavior of the stream function at infinity, is constructed. Two approaches are proposed to approximate the uncertain components of the structure. The first approach is based on the use of the successive approximations method, which makes it possible to reduce the solution of the initial nonlinear task to the solution of a sequence of linear boundary value problems. These linear tasks are solved by the Bubnov-Galerkin method at each step of the iteration process. The second approach for approximating the uncertain components of the structure is based on the usage of the nonlinear Galerkin method and it is proposed to use it in the case of divergence of successive approximations. In this case, the solution of the initial nonlinear task reduces to solving a system of nonlinear algebraic equations. Results. A computational experiment was carried out for the task of flow past a sphere, an ellipsoid of rotation and two articulated ellipsoids for various Reynolds numbers. Conclusions. The conducted experiments have confirmed the efficiency of the proposed method of numerical analysis of stationary problems of flow around bodies of revolution by viscous incompressible fluid. The prospects for further research may consist in using the method developed for the implementation of semi-discrete and projection methods for solving non-stationary problems. UK: У статті розглядається нелінійна стаціонарна задача обтікання тіла обертання в’язкою нестисливою рідиною. Мета роботи – розробка нового методу чисельного аналізу стаціонарних задач обтікання тіл обертання в’язкою нестисливою рідиною. Метод. Математичною моделлю розглядуваного процесу служить нелінійна крайова задача для функції течії, отримана переходом від системи рівнянь Нав’є-Стокса до одного нелінійного рівняння четвертого порядку. Особливістю постановки задачі обтікання є те, що крайова задача розглядається в нескінченній області і для функції течії ставляться як крайові умови на межі тіла, що обтікається, так і умова на нескінченності. За допомогою структурного методу (методу R-функцій) будується структура розв’язку задачі, яка точно задовольняє всі крайові умови задачі, в тому числі гарантує потрібну поведінку функції течії на нескінченності. Для апроксимації невизначених компонент структури пропонується два підходи. Перший підхід заснований на використанні методу послідовних наближень, який дозволяє звести розв’язування вихідної нелінійної задачі до розв’язування послідовності лінійних крайових задач. На кожному кроці ітераційного процесу ці лінійні задачі розв’язуються методом Бубнова-Гальоркіна. Другий підхід до апроксимації невизначених компонент структури заснований на застосуванні нелінійного методу Гальоркіна і його пропонується використовувати в разі розбіжності послідовних наближень. У цьому випадку розв’язування вихідної нелінійної задачі зводиться до розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Результати. Обчислювальний експеримент проведений для задачі обтікання сфери, еліпсоїда обертання і двох з’єднаних еліпсоїдів для різних чисел Рейнольдса. Висновки. Проведені експерименти підтвердили працездатність запропонованого методу чисельного аналізу стаціонарних задач обтікання тіл обертання в’язкою нестисливою рідиною. Перспективи подальших досліджень можуть полягати у використанні розробленого методу при реалізації полудіскретних і проекційних методів розв’язання нестаціонарних задач.