Delay models based on systems with usual and shifted hyperexponential and hypererlangian input distributions

Abstract

EN: Context. In the queueing theory, the study of systems with arbitrary laws of the input flow distribution and service time is relevant because it is impossible to obtain solutions for the waiting time in the final form for the general case. Therefore, the study of such systems for particular cases of input distributions is important. Objective. Getting a solution for the average delay in the queue in a closed form for queuing systems with ordinary and with shifted to the right from the zero point hyperexponential and hypererlangian distributions in stationary mode. Method. To solve this problem, we used the classical method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation. This method allows to obtaining a solution for the average delay for two systems under consideration in a closed form. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation plays an important role in the theory of systems G/G/1. For the practical application of the results obtained, the well-known method of moments of probability theory is used. Results. For the first time, a spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation for systems with ordinary and with shifted hyperexponential and hyperelangian distributions is obtained, which is used to derive a formula for the average delay in a queue in closed form. Conclusions. It is proved that the spectral expansions of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration coincide; therefore, the formulas for the mean delay will also coincide. It is shown that in systems with a delay, the average delay is less than in conventional systems. The obtained expression for the waiting time expands and complements the well-known incomplete formula of queuing theory for the average delay for systems with arbitrary laws of the input flow distribution and service time. This approach allows us to calculate the average delay for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. In addition to the average waiting time, such an approach makes it possible to determine also moments of higher orders of waiting time. Given the fact that the packet delay variation (jitter) in telecommunications is defined as the spread of the waiting time from its average value, the jitter can be determined through the variance of the waiting time. UK: Актуальність. У теорії масового обслуговування дослідження систем довільними законами розподілів вхідного потоку і часу обслуговування актуальні в зв’язку з тим, що не можна отримати рішення для затримки в кінцевому вигляді в загальному випадку при довільних законах розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Тому в сучасній теорії телетрафіка важливі дослідження таких систем для окремих випадків вхідних розподілів. Мета роботи. Отримання рішення для середньої затримки в черзі в замкнутій формі для систем масового обслуговування зі звичайними і з зсунутими вправо від нульової точки розподілами в сталому режимі. Метод. Для вирішення поставленого завдання був використаний класичний метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі. Цей метод дозволяє отримати рішення для середнього часу очікування для розглянутих систем в замкнутій формі. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі грає важливу роль в теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів було використано відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Вперше отримано спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Линдли для систем зі звичайними та з зсунутими гиперекспониціональне і гиперерлангівське розподілами, за допомогою якого виведено розрахункове вираз для середньої затримки в черзі в замкнутій формі. Висновки. Доведено, що спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Линдли для розглянутих систем збігаються, тому формули для середньої затримки також будуть збігатися. Показано, що в системах з запізненням у часі середній час очікування менше, ніж в звичайних системах. Отримане розрахункове вираз для часу очікування розширює і доповнює відому незавершену формулу теорії масового обслуговування для середньої затримки для систем з довільними законами розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Такий підхід дозволяє розрахувати середньої затримки для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Крім середньої затримки, такий підхід дає можливість також визначити моменти вищих порядків часу очікування. З огляду на той факт, що варіація затримки пакетів (джиттер) в телекомунікації визначається як дисперсія часу очікування від його середнього значення, то джиттер можна буде визначити через дисперсію затримки.