К обоснованию одной математической модели плоского соединения трех волноводов. Часть 1. E-плоскостная задача

Abstract

RU: В статье предложена и обоснована математическая модель сочленения трех волноводов в -плоскости. Контур соединительной полости рассматриваемого волноводного трансформатора имеет форму произвольного треугольника. Задача рассеяния волноводных мод формулируется в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Неймана на стенках узла, условиями излучения в волноводах и условием на ребре. Модель основывается на специальном представлении искомой компоненты поля внутри треугольной области в виде суммы тригонометрических рядов, полученных с помощью метода произведения областей. Предлагается рассматривать блоки матрицы бесконечной системы линейных уравнений, которая возникает в ходе решения задачи, в качестве операторов в пространстве абсолютно сходящихся рядов . Продемонстрировано, что каждый такой оператор, описывающий взаимодействие сторон треугольника, может быть записан в виде суммы вполне непрерывного оператора и оператора сжатия. Показано, что в пространстве последовательностей исследуемая система может интерпретироваться в качестве функционального уравнения с фредгольмовым оператором и что для почти всех значений частотного параметра такое уравнение единственным образом разрешимо в методом усечения, сходящимся по норме этого пространства. UK: У статті запропонована і обґрунтована математична модель зчленування трьох хвилеводів в -площині. Контур з’єднувальної порожнини хвилеводного трансформатора, що розглядається, має форму довільного трикутника. Задача розсіювання хвилеводних мод формулюється у вигляді крайової задачі для рівняння Гельмгольца з межовими умовами Неймана на стінках вузла, умовами випромінювання в хвилеводах та умовою на ребрі. Модель ґрунтується на спеціальному зображенні шуканої компоненти поля всередині трикутної області в вигляді суми тригонометричних рядів, отриманих за допомогою методу добутку областей. Пропонується розглядати блоки матриці нескінченної системи лінійних рівнянь, яка виникає в ході розв’язування задачі, в якості операторів в просторі абсолютно збіжних рядів . Продемонстровано, що кожний такий оператор, який описує взаємодію сторін трикутника, може бути записано в вигляді суми цілком неперервного оператора та оператора стиснення. Показано, що в просторі послідовностей досліджувана система може бути інтерпретована в якості одного функціонального рівняння з фредгольмовим оператором і що майже для всіх значень частотного параметра отримане рівняння єдиним чином розв’язне в методом зрізання збіжним за нормою цього простору. EN: In the paper, a mathematical model of an E-plane junction of three waveguides has been presented and justified. The coupling cavity of the waveguide transformer in question has an arbitrary triangular shape. The problem of scattering of waveguide modes is formulated in the form of a boundary-value problem for the Helmholtz equation with Neumann boundary conditions on the periphery of the unit, radiation conductions in the waveguides and with the edge condition. The model is based on the specific trigonometric-series expansions of the field in the triangular connecting region, which are constructed using the domain-product technique. It is suggested to consider the blocks of the matrix of the infinite system of linear equations, which arises in the course of solving the problem, in the capacity of operators in the sequence space of absolutely convergent series . It has been demonstrated that each such operator, describing the interaction of sides of the triangle, can be represented as a sum of a completely continuous operator and the contraction operator. It has been shown that in the space of sequences the investigated system presents a functional equation with the Fredholm operator and that for almost all values of the frequency parameter the resulting equation is uniquely solvable in by means of the truncation method convergent in the norm of this space.