Polynomial solutions for the Kolmogorov-Wiener filter weight function for fractal processes

Abstract

EN: Context. We consider a Kolmogorov-Wiener filter for fractal random processes, which, for example, may take place in modern information-telecommunication systems and in control of complex technological processes. The weight function of the considered filter may be applied to data forecast in the corresponding systems. Objective. As is known, in the continuous case the Kolmogorov-Wiener filter weight function obeys the Fredholm integral equation of the first kind. The aim of the work is to obtain the Kolmogorov-Wiener filter weight function as an approximate solution of the corresponding integral equation. Method. The truncated orthogonal polynomial expansion method for approximate solution of the Fredholm integral equation of the first kind is used. A set of orthonormal polynomials is used. Results. We obtained approximate results for the Kolmogorov-Wiener weight function for fractal processes with a power-law structure function. The weight function is found as an approximate solution of the Fredholm integral equation of the first kind the kernel of which is the correlation function of the corresponding fractal random process. Analytical results for the one-, two-, three-, four- and five-polynomial approximations are obtained. A numerical comparison of the left-hand and right-hand sides of the integral equation for the obtained weight functions is given for different values of the parameters. The corresponding numerical investigation is made up to the 18-polynomial approximation on the basis of the Wolfram Mathematica package. The applicability of the obtained solutions is discussed. Conclusions. The Kolmogorov-Wiener weight function for fractal processes is obtained approximately in the form of a truncated orthogonal polynomial series. The validity of the obtained weight functions is discussed. The obtained results may be applied to the data forecast in a wide variety of different systems where fractal random processes take place. UK: Актуальність. Ми розглядаємо фільтр Колмогорова-Вінера для випадкових фрактальних процесів, які, наприклад, можуть мати місце в сучасних інформаційно-телекомунікційних системах та у керуванні складними технологічними процесами. Вагова функція фільтру, що розглядається, може бути застосована до прогнозу даних у відповідних системах. Мета роботи. Як відомо, у неперервному випадку рівняння на вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера є рівнянням Фредгольма першого роду. Метою роботи є отримати вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера як наближений розв’язок відповідного інтегрального рівняння. Метод. Використано метод обірваного розвинення за ортогональними поліномами для наближеного розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Використано систему ортонормованих поліномів. Результати. Нами отримано наближені результати для вагової функції фільтру Колмогорова-Вінера для фрактальних процесів з степеневою структурною функцією. Вагову функцію знайдено як наближений розв’язок інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, ядром якого є кореляційна функція відповідного випадкового фрактального процесу. Аналітичні результати отримано для наближень одного, двох, трьох, чотирьох та п’яти поліномів. Для різних значень параметрів зроблене чисельне порівняння лівої та правої частин інтегрального рівняння для отриманих вагових функцій. Відповідне чисельне дослідження зроблене у математичному пакеті Wolfram Mathematica до наближення 18 поліномів включно. Обговорюється застосовність отриманих результатів. Висновки. Наближено отримано вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера для фрактальних процесів у вигляді обірваного ряду за ортогональними поліномами. Обговорено застосовність отриманих вагових функцій. Отримані результати можуть бути застосовними до прогнозування данних для багатьох різних систем, де мають місце фрактальні процеси.