Математичне моделювання динаміки пружного півпростору з циліндричною порожниною, яка підкріплена оболонкою, при осесиметричних навантаженнях

Abstract

UK:Мета роботи. Полягає у розробці математичної моделі пружного напівсередовища з циліндричною порожниною, підкріпленою оболонкою, та плитою, якою підкріплена поверхня напівсередовища на основі скінчено-елементного підходу. Проаналізувати нестаціонарний динамічний напружено-деформований стан даної механічного системи при вісесиметричних поверхневих навантаженнях, яке залежить від часу як одинична функція Хевісайда Отримати розв’язок відповідної статичної задачі та на основі отриманих результатів обчислити коефіцієнт динамічності розглянутої механічної системи. Методи дослідження. Метод скінченних елементів та - метод Вільсона для розв’язання відповідного матричного динамічного рівняння, який дозволяє звести диференціальне матричне рівняння до ітераційної послідовності квазістатичних задач. Для отримання наближеного розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які виникають в процесі розв’язку статичної та послідовності квазістатитичних задач, використовувався метод спряжених градієнтів. Отримані результати. Розроблена скінченно-елементна модель механічної системи пружне напівсередовище з циліндричною порожниною,підкріпленою оболонкою, та плитою, якою підкріплена поверхня напівсередовища. Проаналізовано нестаціонарний динамічний напружено деформований стан даної механічної системи при поверхневих вісесиметричних навантаженнях. Отримано розв’язок відвідної статичної задачі. На основі отриманих результатів встановлено коефіцієнт динамічності розглянутої механічної системи. Наукова новизна. Розроблений підхід дозволяє враховувати взаємний вплив циліндричної порожнини, підкріпленої оболонкою та плити, якою підкріплена поверхня напівсередовища під дією не стаціонарного динамічного навантаження, яке прикладене на поверхні плити. Практична цінність. Розроблені математичні моделі та отримані результати можуть бути використані при проектуванні підземних споруд, зокрема стволів шахт. EN: Purpose. The development of a mathematical model of an elastic semi-medium with a cylindrical cavity reinforced by a shell and a plate that reinforces the surface of the semi-medium based on the finite-element approach. The non-stationary dynamic stress-strain state of this mechanical system under axisymmetric surface loads, which depends on time as a unit Heaviside function was analyzed. The solution of the corresponding static problem was obtained. Based on the obtained results, the dynamic coefficient of the considered mechanical system was calculated. Research methods. The finite element method and the Wilson - method were used for solving static and the corresponding dynamic matrix equation correspondingly. The last one allows reducing the differential matrix equation to an iterative sequence of quasi-static problems. To obtain an approximate solution of systems of linear algebraic equations that take place in the process of solving static and a sequence of quasi-statistical problems, the conjugate gradients method was used. Results. A finite-element model of the mechanical system of an elastic semi-medium with a cylindrical cavity reinforced by a shell and a plate reinforces the surface of the semi-medium was developed. The non-stationary dynamic stress-deformed state of this mechanical system under action of the surface axisymmetric loads was analyzed. The solution of the corresponding static problem was obtained. Based of the results has been obtained, the dynamic coefficient of the considered mechanical system was determined. Scientific novelty. The developed approach allows to take into account the mutual influence of a cylindrical cavity reinforced by a shell and a plate that reinforces the surface of the semi-medium under the action of the non-stationary dynamic loads applied to the surface of the plate. Practical value. The developed mathematical models and obtained results can be used in the design of underground structures, in particular mine shafts.