Метод расчета установившихся процессов в электрических цепях

Abstract

RU: Цель работы. Разработка метода расчета установившихся периодических процессов сложной формы. Методы исследования. Использована полиномиальная аппроксимация функций, численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, математический аппарат матричной алгебры, компьютерное программирование и методы теории электрических цепей. Полученные результаты. В результате модификации известного метода расчета переходных процессов разработан метод, который позволяет непосредственно выполнять расчет установившихся периодических процессов. Это сокращает время компьютерного моделирования установившихся периодических электрических процессов в линейных электрических цепях. Показан пример применения предложенного метода. На основании разработанного метода составлена компьютерная программа для расчета установившегося процесса в модельной цепи. Данный пример показал сокращение процессорного времени на 45% по сравнению с применением известных методов. Научна новизна. Процессы в электрических цепях описываются интегро-дифференциальными уравнениями. При их решении использована аппроксимация функций производных токов от времени рядами по ортогональным полиномам Чебышева. При аппроксимации функций полиномами Чебышева имеет место свойство равномерности погрешности во всем диапазоне изменения аргумента. Это выгодно выделяет их из ряда других ортогональных функций. В предложенном методе использована полиномиальная аппроксимация не самой функции решения, а ее производной. Сама функция находится операцией интегрирования. Эта операция имеет малую погрешность по сравнению с операцией дифференцирования. Непосредственный расчет установившегося периодического процесса достигается тем, что начальные условия для токов и их производных в начале периода берутся как значения этих же функций в конце периода. В предложенном методе интегродифференциальные уравнения состояния преобразуются в линейные алгебраические уравнения. Предложена методика составления единой системы линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет непосредственно выполнять расчет установившихся периодических процессов. Практическая ценность. Разработанный метод открывает новую возможность использования многообразного аппарата теории электрических цепей для работы с изображениями токов. На основании этого метода разрабатывается универсальный программный комплекс для расчета установившихся периодических процессов в электрических цепях произвольной сложности. Это позволит сократить процессорное время моделирования сложных цепей. UK: Мета роботи. Розробка методу розрахунку усталених періодичних процесів складної форми. Методи дослідження. Використана поліноміальна апроксимація функцій, числові методи розв'язання інтегро-диференціальних рівнянь, математичний апарат матричної алгебри, комп'ютерне програмування і методи теорії електричних кіл. Отримані результати. В результаті модифікації відомого методу розрахунку перехідних процесів розроблений метод, який дозволяє безпосередньо виконувати розрахунок усталених періодичних процесів. Це дозволить скоротити час комп'ютерного моделювання усталених електричних процесів в лінійних електричних колах. Показаний приклад застосування запропонованого методу. На підставі розробленого методу складена комп'ютерна програма для розрахунку усталеного процесу в модельному колі. Даний приклад показав скорочення процесорного часу на 45% в порівнянні з застосуванням відомих методів. Наукова новизна. Процеси в електричних колах описуються інтегро-диференціальними рівняннями. При їх вирішенні використана апроксимація функцій похідних струмів від часу рядами по ортогональних поліномах Чебишова. При апроксимації функцій поліноми Чебишова мають рівномірність похибки в усьому діапазоні зміни аргументу. Це вигідно виділяє їх з ряду інших ортогональних функцій. У запропонованому методі використана поліноміальна апроксимація не самій функції рішення, а її похідної. Сама функція знаходиться операцією інтегрування. Ця операція має малу похибку в порівнянні з операцією диференціювання. Безпосередній розрахунок усталеного періодичного процесу досягається тим, що початкові умови для струмів і їх похідних на початку періоду беруться як значення цих же функцій в кінці періоду. У запропонованому методі інтегро-диференціальні рівняння стану перетворюються в лінійні алгебраїчні рівняння. Запропоновано методику складання єдиної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Вирішення цієї системи дозволяє u1073 безпосередньо виконувати розрахунок усталених періодичних процесів. Практична цінність. Розроблений метод відкриває нову можливість використання різноманітного апарату теорії електричних кіл для роботи з зображеннями струмів. На підставі цього методу розробляється універсальний програмний комплекс для розрахунку усталених періодичних процесів в електричних колах довільної складності. Це дозволить скоротити процесорний час моделювання складних кіл. EN: Purpose. Development of a method for calculating established periodic processes of complex shape Methodology. Polynomial approximation of functions, numerical methods for solving integro-differential equations, mathematical apparatus of matrix algebra, computer programming and methods of electric circuit theory are used. Findings. As a result of modification of the known method for calculating transient processes, a method has been developed that allows you to directly perform the calculation of steady-state periodic processes. This will reduce the time of computer simulation of electrical processes in linear electrical circuits. An example of using the proposed method is shown. Based on the developed method, a computer program for calculating the steady-state process in the model circuit is worked out. This example shows a 45% reduction in CPU time compared to the use of known methods. Originality. Processes in electrical circuits are described by integro-differential equations. The approximation of functions of current derivatives to time by series on orthogonal Tchebyshev’s polynomials is used in their solution.When approximating functions, Chebyshev polynomials have uniform error in the whole range of argument change. It is advantageous stand out them from a number of other orthogonal functions. The proposed method uses a polynomial approximation not of the solution function itself, but of its derivative. The function itself is obtained with the help of integration operation. This operation has a small margin of error compared to the differentiation operation. The direct calculation of the steady-state periodic process is achieved by taking the initial conditions for currents and their derivatives at the beginning of the period as the values of the same functions at the end of the period. In the proposed method, integro-differential equations of state are transformed into linear algebraic equations. A method for creating a unified system of linear algebraic equations is proposed. The solution of this system allows you to perform directly the calculation of steady-state periodic processes. Practical value The developed method opens a new possibility of using a diverse apparatus of the electric circuits theory to work with images of currents. Based on this method, a universal software package is developed for calculating steady-state periodic processes in electrical circuits of arbitrary complexity. This will reduce the CPU time for modeling complex circuits.