Связь между параметрами самоподобия, устойчивости и долгосрочной зависимости приращений фрактального движения Леви

Abstract

RU: Рассмотрена задача поиска соотношений между параметрами самоподобия, устойчивости и долгосрочной зависимости приращений фрактального движения Леви. В качестве меры взаимосвязи приращений предложено использовать показатели, построенные с помощью модели симметричного перемешивания скрытых факторов, что позволило решить проблему неприменимости корреляционного метода оценки таких приращений, вызванную отсутствием моментов распределения. Получена зависимость показателя взаимосвязи соседних приращений от индексов устойчивости и самоподобия. Эта зависимость имеет вид алгебраического уравнения, которое хоть в общем случае и не имеет явного решения, но легко решается численно. Предложена математическая модель, позволяющая построить аналог дискретной автокорреляционной функции для фрактального движения Леви. Эта модель имеет вид системы алгебраических уравнений. В работе показано, что все аналогичные зависимости, известные для частных случаев процесса фрактального движения Леви, являются соответствующими частными случаями моделей, полученных в работе. Наличие предложенных моделей позволяет определить любой из трех показателей (самоподобия, устойчивости и долгосрочной зависимости приращений) по двум известным, что существенно упростит моделирование и исследование случайных процессов, имеющих вид фрактального движения Леви. UK: Розглядається задача пошуку співвідношень між параметрами, самоподібності, стійкості та довгострокової залежності прирістів фрактального руху Леві. В якості міри взаємозв’язку прирістів, запропоновано застосувати показники, побудовані за допомогою моделі симетричного перемішування прихованих факторів, що дало змогу розв’язати проблему непридатності кореляційного методу оцінки таких прирістів, пов’язану з відсутністю потрібних моментів розподілу. Отримано залежність показника взаємозв’язку сусідніх прирістів від индексів стійкості та самоподібності. Ця залежність має вигляд алгебраїчного рівняння, яке хоч в загальному випадку й не має явного рішення, але легко розв’язується чисельно. Запропоновано математичну модель, яка дозволяє побудувати аналог дискретної автокореляційної функції для фрактального руху Леві. Ця модель має вигляд системи алгебраїчних рівнянь. В роботі показано, что всі аналогічні залежності, які є відомими для окремих випадків процесу фрактального руху Леві, який розглядається, є відповідними окремими випадками моделей, отриманих у роботі. Наявність запропонованих моделей дає змогу визначити будь-який з трьох показників (самоподібності, стійкості та довгострокової залежності прирістів) по двом відомим, що суттєво спрощує моделювання та дослідження випадкових процесів, які мають вигляд фрактального руху Леві. EN: The problem of searching relationships between the parameters of self-similarity, stability and long-range dependency of fractal Levy motion is considered. It was proposed to use indexes, constructed by means a model of symmetric mixing of latent factors as a measure of the relationship between increments of fractal Levy motion process. This approach make it possible to solve the problem of inability to use the correlation method for estimating such increments caused by the absence of the required distribution moments. Dependence of the relationship index of neighboring increments on the indices of stability and self-similarity is obtained. This dependence has the form of an algebraic equation which has no an explicit solution generally, but can be easily solved numerically. A mathematical model that allows to construct a discrete analogue of the autocorrelation function for the fractal Levy motion is proposed. This model has the form of the system of algebraic equations. It is shown that all of the similar dependencies known for the particular cases of the fractal Levy motion, are special cases of the models obtained in the work. Proposed models allows us to determine any of the three parameters (self-similarity, stability and long-range dependency) on two other that will essentially simplify the modeling and studying stochastic processes having the form of fractal Levy motion.