К обоснованию одной математической модели плоского соединения трех волноводов. Часть 2. Н-плоскостная задача

Abstract

RU: В работе предложена и обоснована математическая модель -плоскостного соединения трех волноводов с произвольно треугольной областью связи. Задача рассеяния волноводных мод формулируется в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с однородными граничными условиями Дирихле на контуре конфигурации, условиями излучения в волноводах и условием на ребре. Модель основывается на представлении искомой компоненты поля внутри треугольной соединительной полости в виде суммы тригонометрических рядов, полученных на основе метода произведения областей. Для улучшения сходимости используемых рядов скорректирован традиционный для этого метода вид разложения по синусам. Изучены характерные особенности бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в ходе решения задачи. Показано, что после простой модификации она приводится к эквивалентной системе, которая имеет те же свойства, что и система, которая была исследована в первой части работы при анализе аналогичной -плоскостной структуры. Этот факт позволил интерпретировать систему преобразованных уравнений, как одно функциональное уравнение с фредгольмовым оператором в пространстве последовательностей , где является пространством абсолютно сходящихся рядов, а также доказать, что это уравнение имеет единственное решение, которое может быть найдено методом редукции, сходящимся по норме. UK: В роботі запропонована і обґрунтована математична модель -площинного з’єднання трьох хвилеводів з областю зв’язку довільно трикутної форми. Задача розсіювання хвилеводних мод формулюється у вигляді крайової задачі для рівняння Гельмгольца з однорідними межовими умовами Дирихле на контурі конфігурації, умовами випромінювання в хвилеводах та умовою на ребрі. Модель ґрунтується на зображенні шуканої компоненти поля всередині трикутної з’єднувальної порожнини в вигляді суми тригонометричних рядів, отриманих на основі методу добутку областей. Для покращення збіжності рядів, що використовуються, скорегований традиційний для цього методу вид розвинення по синусах. Вивчені характерні особливості нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яка виникає в ході розв’язування задачі. Показано, що після простої модифікації система приводиться до еквівалентної системи, яка має ті ж властивості, що і система, яка була досліджена в першій частині роботи при аналізі аналогічної -площинної структури. Цей факт дозволив інтерпретувати систему перетворених рівнянь, як одне функціональне рівняння з фредгольмовим оператором в просторі послідовностей , де є простором абсолютно збіжних рядів, а також довести, що таке рівняння має єдиний розв’язок, який може бути знайдено методом редукції, збіжним за нормою. EN: In the paper, a mathematical model of an -plane three-port waveguide junction with an arbitrary-triangular coupling cavity has been presented and justified. The problem of scattering of waveguide modes is formulated as a boundary-value problem for the Helmholtz equation with the homogeneous Dirichlet boundary conditions on the periphery of the unit, radiation conductions in the waveguides and with the edge condition. The model is based on a trigonometric-series representation of the sought-for field in the triangular connecting region, which is constructed using the domain-product technique. The conventional expansion is revised to improve convergence properties of the used sine series. Properties of the infinite set of linear algebraic equations, which arises in the course of solving the problem, are studied. After simple modification, the system of equations is turned into an equivalent system, which is of the same kind as the system examined in the first part of the paper in analyzing the similar E-plane structure. In the space ( is the sequence space of absolutely convergent series), this fact allows to interpret the set of transformed equations as a single functional equation with the Fredholm operator and to prove that the derived equation has a unique solution, which can be found by means of the truncation method convergent in the norm of.