Дія жорсткого тіла на внутрішню поверхню товстостінного біметалічного циліндра

Abstract

UK: Мета роботи. Отримання точного розв’язання задачі про напружено-деформований стан довгого товстостінного біметалічного циліндра в рамках класичної теорії пружних матеріалів, а потім, використовуючи отримані при такій постановці результати, запропонувати більш прості інженерні підходи і дослідити можливості використання асимптотичних формул для експрес-аналізів на стадії проектування таких елементів конструкцій. Методи дослідження. Для основного тіла циліндра використовуються класичні рівняння теорії пружності у переміщеннях. Для зовнішнього покриття (напилення) записуються рівняння теорії оболонок, які ґрунтуються на гіпотезах Кірхгофа-Лява. Застосовується комплексне інтегральне перетворення Фур’є та метод Файлона для наближеного знаходження оригіналів напружень і переміщень. Також використовуються асимптотичні подання циліндричних функцій Бесселя для великих значень аргументу та подання невласних інтегралів у вигляді комбінацій елементарних та спеціальних табульованих функцій. Отримані результати. Побудована математична модель для аналізу напружено-деформованого стану біметалічного циліндру з тонким зовнішнім шаром з іншого матеріалу ніж матеріал внутрішнього шару. Записані різні граничні умови на внутрішній поверхні циліндра, які описують передачу від жорсткого тіла або заданих зусиль, або заданих переміщень. Для усіх розглянутих варіантів за допомогою методу інтегральних перетворень результати отримано у вигляді невласних інтегралів, для обчислення яких застосовано спеціальний метод, орієнтований на обчислення інтегралів із сильно осцилюючими функціями. Наведені приклади конкретних графіків зміни компонент напружено-деформованого стану в матеріалі циліндра. В залежності від умов на внутрішній поверхні циліндра, запропоновані більш прості моделі для опису основного тіла, які ґрунтуються в залежності від характеру опису взаємодії жорсткого тіла і циліндра на одному рівнянні теорії пружності. При такому підході невласні інтеграли обернення в деяких важливих випадках вдалося за допомогою асимптотичного підходу отримати в замкнутому вигляді, як комбінацію елементарних і спеціальних табульованих функцій. Порівняння з точним підходом дозволило довести можливість використання наближених моделей. Наукова новизна. Побудована модель поведінки біметалічного циліндра як тіла, основний шар якого описується рівняннями теорії пружності, а для зовнішнього покриття використовується теорія оболонок. Розглянуті різні способи опису передачі на внутрішню поверхню циліндра зусиль і переміщень від жорсткого тіла. Показано можливість використання асимптотичного підходу для отримання порівняно простих формул для проведення попередніх розрахунків на стадії проектування таких елементів конструкцій. Практична цінність. Отримані в роботі формули, графіки і алгоритми розрахунку можуть використовуватися в практиці роботи проектних організацій, які займаються бурильними установками, магістральними трубопроводами, артилерійськими стволами. Особливо важливо, що дані результати роботи можуть бути використані для так званих експрес-аналізів і попередньої оцінки. EN: Purpose. The goal of the work is to obtain an exact solution to the problem of the stress-strain state of a long thick-walled bimetallic cylinder within the framework of the classical theory of elastic materials. Then, using the results obtained with this formulation, it is necessary to propose simpler engineering approaches and explore the possibilities of using asymptotic formulas for express analyzes at the design stage of such structural elements. Research methods. For the main body of the cylinder, the classical equations of the theory of elasticity in displacements are used. For the outer coating (sputtering), the shell theory equations are written based on the Kirchhoff-Love hypotheses. The complex integral Fourier transform and the Failon method are used to approximately find the original stresses and displacements. Asymptotic representations of cylindrical Bessel functions for large values of the argument and representations of improper integrals in the form of combinations of elementary and special tabulated functions are also used. Results. A mathematical model has been constructed to analyze the stress-strain state of a bimetallic cylinder with a thin outer layer of a material different from that of the inner layer. Various boundary conditions are recorded on the inner surface of the cylinder, describing the transmission from a rigid body of either specified forces or specified displacements. For all considered options, using the method of integral transformations, the results were obtained in the form of improper integrals, for the calculation of which a special method was used, aimed at calculating integrals with highly oscillating functions. Examples of specific graphs of changes in the components of the stress-strain state in the cylinder material are given. Depending on the conditions on the inner surface of the cylinder, simpler models are proposed to describe the main body, which are based, depending on the nature of the description of the interaction of the rigid body and the cylinder, on one equation of the theory of elasticity. With this approach, in some important cases it was possible to obtain improper inversion integrals using the asymptotic approach in closed form as a combination of elementary and special tabulated functions. Comparison with the exact approach allowed us to prove the possibility of using approximate models. Scientific novelty. A model of the behavior of a bimetallic cylinder as a body is constructed, the main layer of which is described by the equations of the theory of elasticity, and the theory of shells is used for the outer coating. Various methods of describing the transfer of forces and displacements from a rigid body to the inner surface of the cylinder are considered. The possibility of using the asymptotic approach to obtain relatively simple formulas for carrying out preliminary calculations at the design stage of such structural elements is shown. Practical value. The formulas, graphs and calculation algorithms obtained in the work can be used in the practice of design organizations involved in drilling rigs, main pipelines, and artillery shafts. It is especially important that these work results can be used for so-called express analyzes and preliminary assessments.