Mathematical foundations of methods for solving continuous problems of optimal multiplex partitioning of sets

Abstract

UK: Context. The research object is the process of placing service centers (e.g., social protection services, emergency supply storage) and allocating demand for services continuously distributed across a given area. Mathematical models and optimization methods for location-allocation problems are presented, considering the overlap of service zones to address cases when the nearest center cannot provide the required service. The relevance of the study stems from the need to solve problems related to territorial distribution of logistics system facilities, early planning of preventive measures in potential areas of technological disasters, organizing evacuation processes, or providing primary humanitarian assistance to populations in emergencies. Objective. The rational organization of a network of service centers to ensure the provision of guaranteed service in the shortest possible time by assigning clients to multiple nearest centers and developing the corresponding mathematical and software support. Method. The concept of a characteristic vector-function of a k-th order partition of a continuous set is introduced. Theoretical justification is provided for using the LP-relaxation procedure to solve the problem, formulated in terms of such characteristic functions. The mathematical framework is developed using elements of functional analysis, duality theory, and nonsmooth optimization. Results. A mathematical model of optimal territorial zoning with center placement, subject to capacity constraints, is presented and studied as a continuous problem of optimal multiplex partitioning of sets. Unlike existing models, this approach describes distribution processes in logistics systems by minimizing the distance to several nearest centers while considering their capacities. Several propositions and theorems regarding the properties of the functional and the set of admissible solutions are proven. Necessary and sufficient optimality conditions are derived, forming the basis for methods of optimal multiplex partitioning of sets. Conclusions. Theoretical findings and computational experiment results presented in the study confirm the validity of the developed mathematical framework, which can be readily applied to special cases of the problem. The proven propositions and theorems underpin computational methods for optimal territorial zoning with center placement. These methods are recommended for logistics systems to organize the distribution of material flows while assessing the capacity of centers and the fleet of transportation vehicles involved. UK: Актуальність. Об'єктом дослідження є процес розміщення сервісних центрів (служб соціального захисту, складів аварійного постачання та ін.) і розподілу між ними попиту на послугу у регіоні. Представлено математичні моделі і обґрунтовано методи розв’язання оптимізаційних задач розміщення-розподілу, в яких передбачено перекриття сервісних зон на той випадок, коли найближчий центр не зможе надати послугу. Актуальність дослідження обумовлена необхідністю вирішення завдань, пов’язаних, приміром, з територіальним розподілом об’єктів логістичних систем і завчасним плануванням запобіжних заходів в районах потенційних техногенних аварій, організації евакуаційних процесів або надання первинної гуманітарної допомоги населенню у разі надзвичайних ситуацій. Мета – забезпечення надання гарантованого сервісу у короткий термін шляхом прикріплення клієнта до декількох найближчих центрів, розроблення відповідного математичного та програмного забезпечення. Метод. Введено поняття характеристичної вектор-функції розбиття k-го порядку множини, теоретично аргументовано використання процедури ЛП-релаксації задачі, записаної у термінах таких характеристичних функцій. Математичне забезпечення розроблено з використанням елементів функціонального аналізу, теорії двоїстості, негладкої оптимізації. Результати. Представлено і досліджено математичну модель оптимального територіального зонування з розміщенням центрів, при наявності обмежень на їхні потужності у вигляді неперервної задачі оптимального мультиплексного розбиття множин (ОМРМ), яка описує розподільчі процеси в логістичних системах за критеріями мінімізації відстані до декількох найближчих центрів з урахуванням їх можливостей. Доведено ряд тверджень та теорем стосовно властивостей функціоналу і множини допустимих розв’язків задачі. Отримано необхідні та достатні умови оптимальності, на яких базуються розроблені методи і алгоритми оптимального мультиплексного розбиття множин. Висновки. Теоретичні положення і результати обчислювальних експериментів, наведені у роботі, свідчать про коректність розробленого математичного апарата і легко переносяться на окремі випадки розглянутої задачі. Доведені твердження та теореми лежать в основі обчислювальних методів оптимального зонування територій із розміщенням центрів, які варто використовувати при організації розподілу матеріальних потоків для оцінювання місткості центрів і парку задіяних транспортних засобів.