Расчет балки переменного сечения на упругом основании квазианалитическим методом

Abstract

RUS: Цель работы. Разработка квазианалитического метода решения нелинейных дифференциальных уравнений и его апробация применительно к балкам переменного сечения на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Методы исследования. Искомую функцию, с учетом ее предполагаемой формы, аппроксимируем некоторой известной функцией. После ее подстановки в нелинейное дифференциальное уравнение задача сводится к аналитическому или численному нахождению таких коэффициентов функции, при которых оценка разницы между правой и левой частями дифференциального уравнения будет минимальной при всех возможных значениях переменной. В соответствии с теорией качеств, величина оценки разности позволяет судить, насколько удачно была подобрана аппроксимирующая функция. Если для аппроксимации используется степенная функция, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Решение может быть уточнено с помощью численной оптимизации, при которой искомые коэффициенты являются варьируемыми параметрами. Полученные результаты. В ходе апробации были получены конкретные решения в области строительства. Была исследована клиновидная бетонная балка на упругом основании (грунте) с прямоугольным сечением переменной высоты. Были получены решения для семи различных форм распределенной нагрузки. Во всех случаях усредненная погрешность решения не превышала 0,1 %, что подтверждает качество предложенного метода расчета и адекватность выбранной аппроксимирующей степенной функции. Научная новизна. Авторам не встречался в литературных источниках такой метод решения нелинейных дифференциальных уравнений. Практическая ценность. Предложенный квазианалитический метод может быть использован для решения дифференциальных уравнений любого порядка с нелинейностями различного типа, в том числе – при расчетах балок переменного сечения на упругом основании. При этом учет граничных условий легко реализуем. UK: Мета роботи. Розробка квазіаналітичного методу рішення нелінійних диференційних рівнянь та його апробація стосовно балок змінного перерізу на пружній основі з двома коефіцієнтами постелі. Методи досліджень. Шукану функцію, з урахуванням її передбачуваної форми, апроксимуємо певною відомою функцією. Після її підстановки у нелінійне диференційне рівняння задача зводиться до аналітичного або чисельного знаходження таких коефіцієнтів функції, при яких оцінка різниці між правою та лівою частинами диференційного рівняння буде мінімальною при всіх можливих значеннях змінної. У відповідності до теорії якостей, величина оцінки різниці дає можливість судити, наскільки вдало було підібрано апроксимуючу функцію. Якщо для апроксимації використовується степенева функція, задача зводиться до рішення системи лінійних алгебраічних рівнянь. Рішення може бути уточнено за допомогою чисельної оптимізації, при якій шукані коефіцієнти є варійованими параметрами. Отримані результати. У ході апробації було отримано конкретні рішення в області будівництва. Було досліджено клиновидну бетонну балку на пружній основі (грунті) з прямокутним перерізом змінної висоти. Було отримано рішення для сьоми різних форм розподіленого навантаження. У всіх випадках усереднена похибка рішення не перевищувала 0,1%, що підтверджує якість запропонованого методу розрахунку та адекватність обраної апроксимуючої степеневої функції. Наукова новизна. Автори не зустрічали у літературних джерелах такий метод рішення нелінійних диференційних рівнянь. Практична цінність. Запропонований квазіаналітичний метод може бути використано для рішення диференційних рівнянь будь-якого порядку з нелінійностями різного типу, у тому числі – при розрахунках балок змінного перерізу на пружній основі. При цьому врахування граничних умов легко реалізовуване. EN: Purpose. Development of the quasi-analytical method of nonlinear differential equation solution and its approbation with reference to beams of variable cross-section on the elastic base with two base factors. Methods of researches. Required function, taking into account its assumpted form, can be approximated by some known function. After its substitution in the nonlinear differential equation, the problem is reduced to an analytical or numerical finding of such function factors at which the estimation of difference between the right and left parts of the differential equation will be minimal at all possible variable values. According to the theory of qualities, the value of a difference estimation allows to conclude, how much successfully the approximating function has been chosen. If power function is used for approximation, the problem is reduced to solution of system of the linear algebraic equations. Solution result accuracy can be improved by means of numerical optimisation at which required factors are varied parameters. Results. Specific solutions in the field of building have been obtained during approbation. The wedge-shaped concrete beam on the elastic base (ground) with rectangular cross-section of variable height has been researched. Solutions for seven various forms of the distributed load have been obtained. In all cases the average solution error had not exceed 0.1%. That confirms quality of the offered solution method and adequacy of the chosen approximating power function. Scientific novelty. The authors had not meet in literature such method of nonlinear differential equation solution. Practical value. The quasi-analytical method that has been offered can be used for solution of differential equations of any order with various types of nonlinearity, including calculations of beams of variable cross-section on the elastic base. Besides, consideration of boundary conditions can be easily realised.