An optimal two-stage allocation of material flows in a transport-logistic system with continuously distributed resource

Abstract

EN: Context. The object of the research is a two-stage process of material flows allocation in the transport-logistic system, the structural elements of which are enterprises that collect a resource, is been distributed in a certain territory (centers of the first stage), and the enterprises that consume or process this resource. A mathematical model of such process is a two-stage problem of the optimal partitioning of a continual set with the locating of subset centers under additional constraints presented in the paper. Objective. The goal of the work is to ensure the reduction of transport costs in the organization of multi-stage production, the raw material resource of which is distributed in some territory, through the development of appropriate mathematical apparatus and software. The urgency of the work is explained by one of the most pronounced tendencies in extracting and processing branches of industry and agriculture, namely, the creation of territorially-distributed multilevel companies that include dozens of large enterprises and carry out a full cycle of production from raw material harvesting with its integrated use and the product manufacturing to its transportation to end consumers. Method. Mathematical apparatus for two-stage problems of optimal partitioning of sets with additional couplings was developed using the basic concepts of the theory of continuous linear problems of optimal set partitioning, duality theory, and methods for solving linear programming problems of transport type. The research shows that the formulation of a multi-stage transport-logistic problem in a continuous variant (in the form of an infinite-dimensional optimization problem) is expedient when the number of resource suppliers is limited but very large. The application of the developed mathematical apparatus makes it possible to find the optimal solution of the two-stage allocation-distribution problem in an analytic form (the analytic expression includes parameters that are the optimal solution of the auxiliary finite-dimensional optimization problem with a nondifferentiable objective function). The proposed iterative algorithm for solving the formulated problem bases on modification of Shor’s r-algorithm and the method of potentials for solving the transport problem. Results. Developed mathematical models, methods and algorithms for solving continuous multi-stage problems for locating enterprises with a continuously distributed resource can be used to solve a wide class of continuous linear location-allocation problems. The presented methods, algorithms and software allow solving several practical problems connected, for example, with the strategic planning in the production, social and economic fields. The theoretical results obtained are been brought to the level of specific recommendations that can be used by state-owned and private enterprises in solving logistics tasks related to the organization of collection of a certain resource and its delivery to processing points, as well as further transportation of the product received to places of destination. Conclusions. The results of the computational experiments testify to the correctness of the developed algorithms operation for solving two-stage optimal set partitioning problems with additional couplings. Furthermore, it is confirmed the feasibility of formulating such problems when it is necessary to determine the location of new objects in a given territory, considering the multi-stage raw material resource distribution process. Further research is subject to the theoretical justification of the convergence of the iterative process realized in the proposed algorithm for solving continuous problems of OPS with additional couplings. In future, the development of software to solve such problems with the involvement of GIS-technologies is planned. UK: Актуальність. Об’єктом дослідження є двоетапний процес розподілу матеріальних потоків в транспортно-логістичній системі, структурними елементами якої є підприємства, які здійснюють збір деякого неперервно розповсюдженого на певній території ресурсу (центри першого етапу), і підприємства, що цей ресурс споживають або переробляють. Представлена математична модель такого процесу – задача оптимального розбиття континуальної множини з розміщенням центрів підмножин і додатковими зв’язками. Мета роботи – забезпечення зниження транспортних витрат при організації багатоетапного виробництва, сировинний ресурс якого розповсюджений на деякій території, за рахунок розробки відповідного математичного і програмного забезпечення. Актуальність роботи обумовлена однією з найбільш виражених тенденцій у видобувних і переробних галузях промисловості і сільського господарства, а саме – створенням територіально-розподілених багаторівневих компаній, що включають в себе десятки великих підприємств і здійснюють повний цикл виробництва від заготівлі сировини з його комплексним використанням, випуском продукції до транспортування кінцевим споживачам. Метод. Математичне забезпечення двоетапних задач розміщення-розподілу розроблено із використанням основних положень теорії неперервних лінійних задач оптимального розбиття множин з розміщенням центрів підмножин, теорії двоїстості, а також методів розв’язання задач лінійного програмування транспортного типу. Показано, що формулювання багатоетапної транспортно-логістичної задачі в неперервному варіанті (у вигляді задачі нескінченновимірної оптимізації) доцільно, коли кількість постачальників ресурсу дуже велика. Застосування розробленого математичного апарату дає можливість знайти оптимальний розв’язок двоетапної задачі розміщення-розподілу в аналітичному вигляді, хоча отриманий вираз містить параметри, які є оптимальним розв’язком допоміжної скінченновимірної оптимізаційної задачі з негладкою цільовою функцією. Запропоновано ітераційний алгоритм розв’язання сформульованої задачі, розроблений на основі r-алгоритму Н.З. Шора і методу потенціалів, що застосовується для задач лінійного програмування транспортного типу. Результати. Розроблено математичні моделі, методи та алгоритми розв’язання неперервних багатоетапних задач розміщення підприємств з неперервно-розподіленим ресурсом, на основі яких створено програмний продукт, що може бути використаний для розв’язання широкого класу неперервних лінійних задач розміщення – розподілу. Представлені методи, алгоритми та програмний продукт дозволяють вирішувати цілий ряд практичних проблем, пов’язаних, наприклад, із задачами стратегічного планування, які виникають у виробничій, соціальній та економічній сферах діяльності. Отримані теоретичні результати доведені до рівня конкретних рекомендацій, які можуть бути використані державними і приватними підприємствами при вирішенні логістичних питань, пов’язаних з організацією збору певного ресурсу і його доставкою до пунктів переробки, а також подальшого перевезення отриманого продукту до місць призначення. Висновки. Результати обчислювальних експериментів свідчать про коректність роботи запропонованого алгоритму розв’язання задачі оптимального розбиття множин (ОРМ) з додатковими зв’язками, крім того, дають можливість стверджувати про доцільність формулювання таких задач, коли потрібно визначати на заданій території місця розташування нових об’єктів з урахуванням багатоетапного процесу розподілу деякого неперервно розповсюдженого ресурсу. Подальшому дослідженню підлягають питання теоретичного обґрунтування збіжності ітераційного процесу, реалізованого в запропонованому алгоритмі розв’язання неперервних задач ОРМ з додатковими зв’язками. У перспективі також – розробка програмного забезпечення розв’язання таких задач із залученням ГІС-технологій.