Сравнительный анализ двух систем массового обслуживания M/HE2/1 с обычными и со сдвинутыми входными распределениями

Abstract

RU: Актуальность. В теории массового обслуживания исследования частных систем типа M/G/1 актуальны в связи с тем, что они до сих пор активно используются в современной теории телетрафика. Рассмотрена задача вывода решения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме двух систем с обычными и со сдвинутыми экспоненциальными и гиперэрланговскими входными распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы – среднего времени ожидания требований в очереди для двух систем массового обслуживания типа M/G/1 и G/G/1 с обычными и со сдвинутыми экспоненциальными и гиперэрланговскими входными распределениями. Метод. Для решения поставленной задачи использован классический метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли. Данный метод позволяет получить решение для среднего времени ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли играет важную роль в теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для пары систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме. Сдвинутое экспоненциальное распределение трансформирует систему M/G/1 в систему G/G/1. Выводы. Получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемых систем и с их помощью выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди для этих систем в замкнутой форме. Эти выражения расширяют и дополняют известные формулы теории массового обслуживания для среднего времени ожидания для систем M/G/1 и G/G/1 с произвольными законами распределений входного потока и времени обслуживания. Такой подход позволяет рассчитать среднее время ожидания для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Все остальные характеристики систем являются производными от времени ожидания. Кроме среднего времени ожидания, такой подход дает возможность определить и моменты высших порядков времени ожидания. Учитывая тот факт, что вариация задержки пакетов (джиттер) в телекоммуникациях определяется как разброс времени ожидания от его среднего значения, то джиттер можно будет определить через дисперсию времени ожидания. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемых систем позволяет получить решение в замкнутой форме и эти полученные решения публикуется впервые. UK: Актуальність. В теорії масового обслуговування дослідження приватних систем типу M/G/1 є актуальними в зв’язку з тим, що вони й до сьогодні активно використовуються в сучасній теорії телетрафіку. Була розглянута задача виведення рішення для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі двох систем зі звичайними і зсунутими експонентними і гіперерлангівськими вхідними розподілами. Мета роботи. Отримання рішення для основної характеристики системи – середнього часу очікування вимог в черзі для двох систем масового обслуговування типу M/G/1 і G/G/1 зі звичайними і зсунутими експонентними і гіперерлангівськими вхідними розподілами. Метод. Для вирішення поставленого завдання був використаний класичний метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі. Цей метод дозволяє отримати рішення для середнього часу очікування для розглянутих систем в замкнутій формі. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі грає важливу роль в теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів було використано відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Були отримані спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для пари систем, за допомогою яких виведені розрахункові формули для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі. Зрушений експоненціальний розподіл трансформує систему M/G/1 в систему G/G/1. Висновки. Були отримані спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для розглянутих систем і з їх допомогою виведені розрахункові формули для середнього часу очікування в черзі для цих систем в замкнутій формі. Ці формули розширюють і доповнюють відомі формули теорії масового обслуговування для середнього часу очікування для систем M/G/1 і G/G/1 з довільними законами розподілів вхідного потоку і часу обслуговування. Такий підхід дозволяє розрахувати середній час очікування для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Всі інші характеристики систем є похідними часу очікування. Крім середнього часу очікування, такий підхід дає можливість також визначити моменти вищих порядків часу очікування. З огляду на той факт, що варіація затримки пакетів (джиттер) в телекомунікації визначається як дисперсія часу очікування від його середнього значення, то джиттер можна буде визначити через дисперсію часу очікування. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для розглянутих систем дозволяє отримати рішення в замкнутій формі і ці отримані рішення публікуються вперше. EN: Context. In the queueing theory, studies of particular systems of the M/G/1 type are relevant in that they are still actively used in the modern theory of teletraffic. The problem of finding a solution for the mean waiting time in a queue in the closed form of two systems with ordinary and shifted exponential and hypererlangian input distributions is considered. Objective. Obtaining a solution for the main system characteristic – for the average waiting time in a queue for two queuing systems of type M/G/1 and G/G/1 with conventional and offset exponential and hypererlangian input distributions. Method. To solve this problem, we use the classical method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation. This method allows to obtain a solution for the average waiting time for the systems under consideration in closed form. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation plays an important role in the theory of systems G/G/1. For the practical application of the results obtained, the well-known method of moments of probability theory is used. Results. Spectral decompositions of the solution of an integral equation of Lindley for couple of systems by means of which formulas for the average time of waiting in queue in the closed form are received. The shifted exponential distribution transforms the system M/G/1 into the system G/G/1. Conclusions. The spectral decompositions of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration are obtained and with their help, the formulas for the average waiting time in the queue for these systems in a closed form are derived. These expressions expand and complement the known queuing theory formulas for the average waiting time for M/G/1 and G/G/1 systems with arbitrary laws of input flow and service time distributions. This approach allows us to calculate the average latency for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. All other characteristics of the systems are derived from the waiting time. In addition to the average waiting time, such an approach makes it possible to determine also moments of higher orders of waiting time. Given the fact that the packet delay variation (jitter) in telecommunications is defined as the spread of the waiting time from its average value, the jitter can be determined through the variance of the waiting time. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation for the systems under consideration makes it possible to obtain a solution in a closed form and these solutions are published for the first time.