Полиинтервальная математика и оптимизация в условиях неопределенности

Abstract

RU: В последние десятилетия в гражданской и военной сферах все чаще встречаются новые информационные технологии, основанные на новых подходах к описанию различных видов неопределенности. Эти технологии широко применяются в технике, экономике, социальной сфере. Для их поддержки необходимы новые достаточно мощные математические модели и методы. В связи с этим данная статья, посвященная разработке новой модели неопределенности (полиинтервал) и математических методов и моделей для ее изучения, применительно к решению задач оптимизации в условиях неопределенности, является весьма актуальной. Цель статьи заключается в детальной разработке новой математической модели неопределенности – полиинтервала, являющегося последовательностью конечного числа независимых интервалов неопределенности, с целью оптимизации разнообразных технических, экономических, социальных и иных систем с полиинтервальными параметрами. Метод. Для достижения поставленной цели в статье предложено распространить на изучение оптимальных операций над полиинтервалами известный в интервальной математике метод введения операций над интервалами в виде теоретико-множественного обобщения соответствующих операций над вещественными числами. Результат. В статье детально разработана новая математическая модель неопределенности – полиинтервал. Определены оптимальные операции (max, min) над полиинтервалами, выведены правила их выполнения. Установлены необходимые и достаточные условия существования этих операций, т.е. условия сравнимости полиинтервалов по отношениям «больше» и «меньше». Дан пример использования полученных результатов для принятия оптимального экономического решения о выборе наилучшего места работы по критерию «наибольшая зарплата». Показано, что полинтервал, являющийся более сложной моделью неопределенности систем, чем интервал, позволяет исследовать неопределенные системы с такими же временными затратами. Выводы. Научная новизна данной работы состоит в предложенной автором новой математической модели неопределенности различных систем в виде полиинтервалов, совместно с математическим аппаратом, позволяющим выполнять оптимальные операции над полиинтервалами и тем самым дающим возможность решать задачи оптимизации технических, экономических, социальных и иных систем с полиинтервальными параметрами. UK: В останні десятиліття в цивільній і військовій сферах усе частіше зустрічаються нові інформаційні технології, засновані на нових підходах до опису різних видів невизначеності. Ці технології широко застосовуються у техніці, економіці, соціальній сфері. Для їхньої підтримки необхідні нові досить могутні математичні моделі і методи. У зв’язку з цим ця стаття, присвячена розробці нової моделі невизначеності (поліінтервал) і математичних методів і моделей для її вивчення, стосовно до рішення задач оптимізації в умовах невизначеності, є дуже актуальною. Мета статті полягає в детальній розробці нової математичної моделі невизначеності – поліінтервалу, що є послідовністю кінцевого числа незалежних інтервалів невизначеності, з метою оптимізації різноманітних технічних, економічних, соціальних і інших систем з поліінтервальними параметрами. Метод. Для досягнення поставленої мети в статті запропоновано поширити на вивчення оптимальних операцій над поліінтервалами відомий у інтервальній математиці метод введення операцій над інтервалами у вигляді теоретико-множинного узагальнення відповідних операцій над дійсними числами. Результат. У статті детально розроблена нова математична модель невизначеності – поліінтервал. Визначено оптимальні операції (max, min) над поліінтервалами, виведені правила їхнього виконання. Установлено необхідні і достатні умови існування цих операцій, тобто умови порівнянності поліінтервалів по відносинам «більше» і «менше». Дано приклад використання отриманих результатів для прийняття оптимального економічного рішення про вибір найкращого місця роботи за критерієм «найбільша зарплата». Показано, що поліінтервал, що є більш складною моделлю невизначеності систем, ніж інтервал, дозволяє досліджувати невизначені системи з такими ж витратами часу. Висновки. Наукова новизна даної роботи полягає у запропонованій автором новій математичнійї моделі невизначеності різних систем у виді поліінтервалів, разом з математичним апаратом, що дозволяє виконувати оптимальні операції над поліінтервалами і тим самим таким, що дає можливість вирішувати задачі оптимізації технічних, економічних, соціальних і інших систем з поліінтервальними параметрами. EN: In recent decades, in the civil and military spheres new information technologies are increasingly encountered based on new approaches to describing various types of uncertainty. These technologies are widely used in engineering, economics, social sphere. To support them, new fairly powerful mathematical models and methods are needed. In this regard, this article devoted to the development of a new model of uncertainty (polyinterval) and mathematical methods and models for its study with regard to solving optimization problems under uncertainty is very relevant. Objective. The aim of the article is to elaborate a new mathematical model of uncertainty – a polyinterval which is a sequence of a finite number of independent intervals of uncertainty in order to optimize various technical, economic, social and other systems with polyinterval parameters. Method. To achieve this goal, it is proposed to extend the method of introducing operations on intervals in the form of a set-theoretical generalization of the corresponding operations over real numbers to the study of optimal operations over polyintervals. Result. In the article a new mathematical model of non-definiteness is developed in detail – polyinterval. The optimal operations (max, min) over the polyintervals have been determined and the rules for their implementation have been derived. The necessary and sufficient conditions for the existence of these operations are established, i.e. the conditions for the comparability of polyintervals over the relations “more” and “less”. An example of using the results obtained for making the optimal economic decision on choosing the best place of work by the criterion “the highest salary” is given. It is shown that the polyinterval, which is a more complex model of uncertainty than the interval, allows one to investigate uncertain systems with the same time costs. Conclusions. The scientific novelty of this work consists in the proposed by the author new mathematical model of uncertainty of various systems in the form of polyintervals, in conjunction with a mathematical apparatus that allows performing optimal operations on polyintervals and thereby enabling the optimization of technical, economic, social and other systems with polyinterval parameters.