On the analytical solution of a Volterra integral equation for investigation of fractal processes

Abstract

EN: We consider a Volterra integral equation of the first kind which may be applied to the data filtration and forecast of fractal random processes, for example, in information-telecommunication systems and in control of complex technological processes. Objective. The aim of the work is to obtain an exact analytical solution to a Volterra integral equation of the first kind. The kernel of the corresponding integral equation is the correlation function of a fractal random process with a power-law structure function. Method. The Volterra integral equation of the first kind is solved with the help of the standard Laplace transform method. The inverse Laplace transform leads to the calculation of the line integral of the function of complex variable. This integral is calculated as a sum of a residue part and integrals over the banks of cut. The corresponding integrals are obtained on the basis of the known expansions of special functions. Results. We obtained an exact analytical solution of the Volterra integral equation the kernel of which is the correlation function of a fractal random process. The paper is based on a model where the structure function of the corresponding process is a power-law function. It is shown that the part of the solution that does not contain delta-function is convergent at any point if the Hurst exponent is larger than 0.5, i.e. if the process has fractal properties. It is shown that the obtained solution is a real-valued function. The obtained solution is verified numerically; it is also shown that our solution gives the correct asymptotic behavior. Although the solution contains an exponentially growing function of time, at large times the integral of the obtained solution asymptotically behaves as a power-law function. Conclusions. It is important to stress that we obtained an exact solution of the Volterra integral equation under consideration rather than an approximate one. The obtained solution may be applied to the data filtration and forecast of fractal random processes. As is known, fractal processes take place in a huge variety of different systems, so the results of this paper may have a wide field of application. UK: Актуальність. Розглянуто інтегральне рівняння Вольтери першого роду, яке може бути застосовним до фільтрації та прогнозування випадкових фрактальних процесів, наприклад, у інформаційно-телекомунікаційних мережах та при керуванні складними технологічними процесами. Метою роботи є отримати точний аналітичний розв’язок інтегрального рівняння Вольтери першого роду. Ядром відповідного інтегрального рівняння є кореляційна функція фрактального випадкового процесу, структурна функція якого є степеневою. Метод. Інтегральне рівняння Вольтери першого роду розв’язано за допомогою стандартного методу перетворення Лапласа. Зворотне перетворення Лапласа приводить до контурного інтегралу від функції комплексної змінної. Цей інтеграл обчислено як суму частини, що містить лишок, та інтегралів вздовж берегів розрізу. Відповідні інтеграли пораховано за допомогою відомих розвинень спеціальних функцій. Результати. Нами отримано точний аналітичний розв’язок інтегрального рівняння Вольтери, ядром якого є кореляційна функція фрактального випадкового процесу. Робота базується на моделі, в якій структурна функція відповідного фрактального процесу є степеневою функцією. Показано, що та частина розв’язку, яка не містить дельта-функції, є збіжною в будь-якій точці, якщо показник Херста є більшим за 0,5, тобто якщо процес має фрактальні властивості. Показано, що отриманий розв’язок є дійсною функцією. Отриманий розв’язок перевірено чисельно; також показано, що наш розв’язок дає правильну асимптотичну поведінку. Xоча отриманий розв’язок містить експоненційно зростаючу функцію часу, при великих часах інтеграл від отриманого розв’язку асимптотично веде себе як степенева функція. Висновки. Важливо підкреслити, що нами отримано точний, а не наближений розв’язок інтегрального рівняння Вольтери, яке досліджується. Отриманий розв’язок може бути застосовним до фільтрації та прогнозування даних випадкового фрактального процесу. Як відомо, фрактальні процеси мають місце у величезній кількості різноманітних систем, тому результати цієї статті можуть мати широку область застосувань.