Анализ и сравнение двух систем массового обслуживания с гиперэрланговскими входными распределениями

Abstract

RU: . Рассмотрена задача вывода решения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме для обычной системы с гиперэрланговскими входными распределениями второго порядка и системы со сдвинутыми гиперэрланговскими входными распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы – среднего времени ожидания требований в очереди для системы массового обслуживания типа G/G/1 с обычными и со сдвинутыми с гиперэрланговскими входными распределениями второго порядка. Метод. Для решения поставленной задачи использован классический метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли, который позволяет получить решение для среднего времени ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли занимает важную часть теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Впервые получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для обеих систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди для вышеуказанных систем в замкнутой форме. Такой подход позволяет рассчитать среднее время ожидания для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Все остальные характеристики систем являются производными от среднего времени ожидания. Выводы. Показано, что гиперэрланговский закон распределения второго порядка, как и гиперэкспоненциальный, являющийся трехпараметрическим, может определяться как двумя первыми моментами, так и тремя первыми моментами. Выбор такого закона распределения вероятностей обусловлен тем, что его коэффициент вариации охватывает более широкий диапазон, чем у гиперэкспоненциального распределения. Для сдвинутого гиперэрланговского закона распределения коэффициент вариации охватывает еще более широкий диапазон, чем у обычного. Введение сдвинутых во времени распределений расширяет область применения СМО с учетом известного факта из теории массового обслуживания, что среднее время ожидания связано с коэффициентами вариаций интервалов поступлений и времени обслуживания квадратичной зависимостью. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли для системы массового обслуживания с гиперэрланговскими входными распределениями второго порядка позволяет получить решение в замкнутой форме и это решение публикуется впервые Полученное решение дополняет и расширяет известную формулу теории массового обслуживания для среднего времени ожидания требований в очереди для системы массового обслуживания типа G/G/1. UK: Актуальність. Розглянуто задачу виведення рішення для середнього часу очікування в черзі в замкнутій формі для зви-чайної системи з гіперерлангівськими вхідними розподілами другого порядку і системи зі зсунутими гиперерлангівськими вхідними розподілами. Мета роботи – отримання рішення для основної характеристики системи – середнього часу очікування вимог в черзідля системи масового обслуговування типу G/G/1 зі звичайними із зсунутими з гіперерлангівськими вхідними розподілами другого порядку. Метод. Для вирішення поставленого завдання використаний класичний метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі, який дозволяє отримати рішення для середнього часу очікування для розглянутих систем у замкнутій формі. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі займає важливу частину теорії систем G/G/1. Для практичного застосування отриманих результатів використаний відомий метод моментів теорії ймовірностей. Результати. Вперше отримано спектральні розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для обох систем, за допомогою яких виведені розрахункові вирази для середнього часу очікування в черзі для вищевказаних систем в замкнутій формі. Такий підхід дозволяє розрахувати середній час очікування для зазначених систем в математичних пакетах для широкого діапазону зміни параметрів трафіку. Усі інші характеристики систем є похідними від середнього часу очікування. Висновки. Показано, що гіперерлангівський закон розподілу другого порядку, як і гіперекспоненційний є трипараметричним, може визначатися як двома першими моментами, так і трьома першими моментами. Вибір такого закону розподілу ймовірностей обумовлений тим, що його коефіцієнт варіації охоплює більш широкий діапазон, ніж у гиперекспоненційному розподілі. Для зсунотого гіперерлангівського закону розподілу коефіцієнт варіації охоплює ще більш широкий діапазон, ніж у звичайного. Введення зсунутих у часі розподілів розширює сферу застосування СМО з урахуванням відомого факту з теорії масового обслуговування, що середній час очікування пов’язаний з коефіцієнтами варіацій інтервалів надходжень і часу обслуговування квадратичною залежністю. Метод спектрального розкладання рішення інтегрального рівняння Ліндлі для системи масового обслуговування з гіперерлангівськими вхідними розподілами другого порядку дозволяє отримати рішення в замкнутій формі і це рішення публікується вперше Отримане рішення доповнює і розширює відому формулу теорії масового обслуговування для середнього часу очікування вимог в черзі для системи масового обслуговування типу G/G/1. EN: Context. The problem of finding the solution for the mean waiting time in a closed form for a conventional system with hyperarlangian input distributions of second order and for system with shifted hypererlangian input distributions is considered. Objective is obtaining a solution for the main characteristic of the system-the average waiting time for queuing requirements for a queuing system of the type G/G/1 with normal and with shifted hypererlangian input distributions of the second order. Method. To solve this problem, we used the classical method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation, which allows one to obtain a solution for the mean waiting time for of the systems under consideration in closed form. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation occupies an important part of the theory of systems G/G/1. For the practical application of the results obtained, the well-known method of moments of probability theory is used. Results. For the first time, spectral decompositions of the solution of the Lindley integral equation for both systems were obtained, with the help of which the calculated expressions for the average waiting time in the queue for the above-mentioned systems in closed form were derived. This approach allows us to calculate the average latency for these systems in mathematical packages for a wide range of traffic parameters. All other characteristics of the systems are the derived from the average waiting time. Conclusions. It is shown that the hypererlangian distribution law of the second order, like the hyperexponential, which is threeparameter, can be determined by both the first two moments and the first three moments. The choice of such a law of probability distribution is due to the fact that its coefficient of variation covers a wider range than the hyperexponential distribution. For the shifted hypererlangian distribution law, the coefficient of variation covers an even wider range. The introduction of shifted distributions extends the scope of the QS with considering the well-known fact from queuing theory, that the average waiting time is related to the coefficients of variations in the intervals of receipts and the time of service by a quadratic dependence. The method of spectral decomposition of the solution of the Lindley integral equation for a queuing system with hypererlangian input distributions of the second order makes it possible to obtain a solution in closed form and this solution is published for the first time. The solution obtained supplements and extends the well-known queuing theory formula for the average waiting time in the queue for a queuing system of type G/G/1.