Интервальная производная и интервально-дифференциальное исчисление

Abstract

RU: Рассмотрена проблема возможного обобщения классического дифференциального исчисления на функции с интервальной неопределенностью параметров. В связи с этим рассмотрены различные виды неопределенности параметров функций и возможные математические подходы изучению таких функций. Подробно изложен аппарат интервальной математики, применяемый для изучения функций с интервальной неопределенностью параметров. Понятие интервальной производной вводится по аналогии с понятием классической производной для полностью определенной функции путем предельного перехода. Доказана теорема существования интервальной производной. Также доказана теорема о представлении интервальной производной через исходную функцию. Введены интервальные производные высших порядков, доказана теорема существования таких производных и теорема, позволяющая представлять производные любого порядка через исходную функцию. Выведено явное выражение интервальной производной любого n-го порядка в виде интервала, нижняя и верхняя граница которого выражаются через аналогичные границы исходной интервальной функции. Приведен пример применения интервальной производной в экономике. UK: Розглянуто проблему можливого узагальнення класичного диференціального числення на функції з інтервальною невизначеністю параметрів. У зв’язку з цим розглянуті різні види невизначеності параметрів функцій і можливі математичні підходи щодо вивчення таких функцій. Докладно викладено апарат інтервальної математики, застосовуваний для вивчення функцій з інтервальною невизначеністю параметрів. Поняття інтервальної похідної вводиться за аналогією з поняттям класичної похідної для цілком визначеної функції шляхом граничного переходу. Доведено теорему існування інтервальної похідної. Також доведено теорему про подання інтервальної похідної через вихідну функцію. Уведені інтервальні похідні вищих порядків, доведена теорема існування таких похідних і теорема, що дозволяє подавати похідні будь-якого порядку через вихідну функцію. Виведено явний вираз інтервальної похідної кожного n-го порядку у вигляді інтервалу, нижня і верхня межі якого виражаються через аналогічні межі вихідної інтервальної функції. Наведено приклад застосування інтервальної похідної в економіці. EN: The problem of the possible generalization of the classical differential calculus for functions with interval uncertainty of parameters is considered. In this regard, various types of uncertainty of function parameters and possible mathematical approaches to study of such functions are viewed. A detailed explanation of means of interval mathematics applied to study of functions with interval uncertainty of parameters is given. The concept of interval derivative is introduced by analogy with the classical notion of derivative of fully defined functions by passing to the limit. The theorem of existence of interval derivative is proved. Also we prove a theorem on representation of interval derivative through the original function. The interval derivatives of higher order are introduced and the theorem of existing of such derivatives if proved. Also we prove the theorem that allows us to represent derivatives of any high order through the original function. We derive an explicit expression for the interval derivative of any of order as the interval the lower and upper limit of which are expressed in terms of boundaries of the original interval function. An example of use of interval derivative in the economy.