Производные элементарных интервальных функций

Abstract

RU: Рассмотрены задачи, связанные с вычислением производных от интервально-определенных функций. Эти задачи актуальны при изучении систем с присущей им той или иной степенью неопределенности (недетерминированные системы). Именно, речь идет о простейших системах, которые описываются элементарными интервально-определенными функциями. Соответственно этому решаются задачи нахождения производных от элементарных функций указанного вида. При этом используются полученные ранее формулы и приемы вычисления производных от любых интервально-определенных функций. Приведены основные определения, связанные с производными от интервально-определенных функций, а также формулы двух типов, которые позволяют вычислять указанные интервальные производные. Формулы первого типа выражают производные в закрытой интервальной форме, которая требует использования аппарата интервальной математики. Формулы второго типа выражают производные в открытой интервальной форме, в виде двух формул, первая из которых выражает нижнюю границу интервала, представляющего искомую производную, а вторая – верхнюю границу, и вычисление производной от интервальной функции сводится к вычислению двух вещественных функций. С помощью изложенного математического аппарата были найдены производные от следующих элементарных интервальных функций: интервальной константы, интервальной степенной функции, интервальной показательной функции, интервальной экспоненциальной функции, интервальной логарифмической и натурально-логарифмической функций, интервальных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса), интервальных обратных тригонометрических функций (арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса). Формулы всех производных даны в открытой интервальной форме. Указано отличие интервальных производных интервальных элементарных функций от классических производных соответствующих обычных элементарных функций. UK: Розглянуто задачі, пов’язані з обчисленням похідних від интервально-певних функцій. Ці задачі актуальні при вивченні систем з властивою їм тим чи іншим ступенем невизначеності (недетерміновані системи). Саме, мова йде про простих системах, які описуються елементарними интервально-певними функціями. Відповідно до цього вирішуються задачі знаходження похідних від елементарних функцій зазначеного виду. При цьому використовуються отримані раніше формули і прийоми обчислення похідних від будь-яких интервально-певних функцій. Наведено основні визначення, пов’язані з похідними від интервально-певних функцій, а також формули двох типів, які дозволяють обчислювати зазначені інтервальні похідні. Формули першого типу висловлюють похідні в закритій інтервального формі, яка вимагає використання апарату інтервального математики. Формули другого типу висловлюють похідні у відкритій інтервального формі, у вигляді двох формул, перша з яких висловлює нижню межу інтервалу, що представляє шукану похідну, а друга – верхню межу, і обчислення похідної від інтервального функції зводиться до обчислення двох дійсних функцій. За допомогою викладеного математичного апарату були знайдені похідні від наступних елементарних інтервальних функцій: інтервального константи, інтервального статечної функції, інтервального показовою функції, інтервального експоненційної функції, інтервального логарифмічною і натурально-логарифмічноїфункцій, інтервальних тригонометричних функцій (синуса, косинуса, тангенса і котангенс), інтервальних зворотних тригонометричних функцій (арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса). Формули всіх похідних дані у відкритій інтервального формі. Зазначено відміну інтервальних похідних інтервальних елементарних функцій від класичних похідних відповідних звичайних елементарних функцій. EN: The article deals with some problems related to calculation of derivatives of interval-specified functions. These problems are relevant in the study of systems with any level of uncertainty (nondeterministic systems). Specifically we will speak about simple systems described by elementary interval-specific functions. Accordingly we solved the problem of calculating derivatives of elementary interval-specified functions. Previously obtained formulas and methods of finding of derivatives of interval-defined functions are used. Basic definitions related to the derivatives of interval functions are given. We present formulas of two types that allow you to calculate interval derivatives. The first type formulas express derivatives in the closed interval form, which requires computing using the apparatus of interval mathematics. But formulas of the second type can express derivatives in the open interval form, i.e. in the form of two formulas. Formulas above expresses the lower and the upper limits of the interval representing the derivative. Here finding of the derivative of the interval-defined function is reduced to computation of two ordinary certain functions. Using above mathematical apparatus we find derivatives of all elementary interval functions: interval constant, interval power function, interval exponential function, interval logarithmic function, interval natural-logarithmic function, interval trigonometric functions (sine, cosine, tangent, cotangent), interval inverse trigonometric functions (arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent). Formulas of all derivatives are shown in form of an open interval. The difference between derivatives of interval elementary functions and the derivatives of exact functions (not interval) elementary functions is discussed.