Побудова базису біпіраміди

Abstract

UK: У статті біпіраміда вперше розглядається як 6-вузловий скінченний елемент (СЕ). Для побудови її біквадратичного базису використовуються два різних підходи: матричний спосіб та метод внутрішньої конденсації базису біпіраміди як 7-вузлового СЕ. Перший підхід дозволяє дослідити принципово можливу кількість базисів, а другий такої можливості не надає, але є більш економічним. Показано, що після задоволення традиційних вимог до базисних функцій у МСЕ у біквадратичних базисних функціях біпіраміди як 6-вузлового СЕ, які будуються за допомогою названих раніше підходів, залишається різна кількість невизначених коефіцієнтів. Ці коефіцієнти надалі використовуються для надання базисним функціям спеціальних властивостей, які адаптують їх до розв’язання граничних задач із рівнянням Лапласа. У якості критерію прогностичного оцінювання апроксимаційних властивостей СЕ у формі біпіраміди обрана величина сліду матриці жорсткості. Мінімізація сліду матриці жорсткості приводить до побудови одного і того ж біквадратичного базису при обох підходах. На основі отриманого базису аналізуються межі припустимих деформацій геометричної форми біпіраміди. Вперше теоретично доведено, що існує СЕ, при використанні якого як комірки скінченно-елементної сітки, найкраща точність досягається при відхиленні геометричної форми СЕ від правильного багатогранника, у даному випадку від октаедра. Знайдено критичне значення коефіцієнта стиснення, яке забезпечує мінімум сліду матриці жорсткості для біпіраміди з геометричною формою, що досліджується. Проведено обчислювальний експеримент, результати якого підтверджують теоретичний прогноз властивостей біпіраміди як СЕ. Виявлені залежності дозволяють припустити доцільність застосування базисів більш високого порядку для СЕ у формі біпіраміди. EN: In the article the bipyramid for the first time is considered as a 6-knots finite element (FE). For the construction of her biquadratic base two different approaches are used: matrix method and internal condensation method for the bipyramid’s base as a 7-knots Lagrange FE. The first approach allows to investigate the fundamentally possible amount of bases for FE, and second approach does not give such possibility, but it is more economical. It is shown that after satisfaction of the traditional requirements to the basic functions in FEM in the biquadratic basic functions of bipyramid as a 6-knots FE, which are built by means of the named before approaches, there are a different amount of the indefinite coefficients. These coefficients are used future for the giving of the special properties to the basic functions, which adapt them to the solving of a boundary problems with Laplace’s equation. The value of trace of stiffness matrix is chosen as a criterion for the prognostic evaluation of approximation properties of FE in bipyramid’s form. The minimization of the trace value of the stiffness matrix results in the construction of the same biquadratic base of the bipyramid at the both approaches. On the basis of the got base the borders of the possible deformations of the bipyramid’s geometrical form are analysed. It is first well-proven in theory, that FE exists, at using of that as a cell of finite-element mesh, the best accuracy is arrived at the deviation of FE geometrical form from a regular polyhedron, in this case from an octahedron. The critical value of the aspect ratio which provides the achievement of a minimum of trace of stiffness matrix for the bipyramid of the studied geometrical form is found. A calculable experiment the results of that confirm the theoretical prognosis for properties of bipyramid as FE is conducted. The found regularities allow to suppose the expediency of application of bases with higher-order for FE in form bipyramid.