К решению однопараметрических матричных уравнений типа A(T) ·X(T)+ X*(T)· B(T) =C(T)

Abstract

RU: Рассмотрены однопараметрические сопряженные аналоги матричных уравнений типа Сильвестра. На основе несложных преобразований получено эквивалентное матричное уравнение, содержащее только неизвестную матрицу, подлежащую определению. Далее, использованием аппарата кронекеровых произведений матриц, получено аналитическое решение задачи, ограниченное в практических применениях, однако служащее основой для разработки численно-аналитических методов решения исходной задачи. Предложены последовательный и параллельный численно-аналитические методы решения, основанные на дифференциальных преобразованиях Г. Е. Пухова. При последовательном численно-аналитическом методе оперируем числовыми рекуррентными процедурами на первом этапе вычислений и аналитическими соотношениями – на втором этапе. При параллельном численно-аналитическом методе оперируем линейной гиперсистемой числовых уравнений на первом этапе вычислений и аналитическими соотношениями – на втором этапе. При всех методах получены соответствующие условия однозначной разрешимости задачи. Рассмотрен модельный пример, для которого при использовании численно-аналитических методов получено точное тейлоровское решение. Предложенные численно-аналитические методы могут быть эффективно реализованы средствами современных информационных технологий. UK: Розглянуто однопараметричнi сполученi аналоги матричних рівнянь типу Сильвестра. На основі нескладних перетворень отримано еквівалентнe матричне рівняння, що містить тільки невідому матрицю, яка підлягає визначенню. Далі, використанням апарату кронекерових добутків матриць, отримано аналітичний розв’язок задачі, який обмежений в практичних застосуваннях, однак служить основою для розробки чисельно-аналітичних методів розв’язання початкової задачі. Запропонованi послідовний та паралельний чисельно-аналітичні методи розв’язання, засновані на диференціальних перетвореннях Г. Є. Пухова. При послідовному чисельно-аналітичному методі оперуємо числовими рекурентними процедурами на першому етапі обчислень та аналітичними співвідношеннями – на другому етапі. При паралельному чисельно-аналітичному методі оперуємо лінійною гіперсистемою числових рівнянь на першому етапі обчислень та аналітичними співвідношеннями – на другому етапі. При всіх методах отримані відповідні умови однозначної вирішуваності задачі. Розглянуто модельний приклад, для якого при використанні чисельно-аналітичних методів отримано точний тейлоровський розв’язок. Запропоновані чисельно-аналітичні методи можуть бути ефективно реалізовані засобами сучасних інформаційних технологій. EN: We consider the one-parameter conjugated analogs of Sylvester type matrix equations. On the basis of simple transformations we obtain the equivalent matrix equation containing only the unknown matrix which should be determined. Next, using the apparatus of Kronecker products of matrices, the analytical solution of the problem was obtained, which is limited in practical applications, but serves as a basis for the development of numerical-analytical methods for solving the original problem. Serial and parallel numerical and analytical solution methods are proposed based on the differential transformations G. E. Pukhov. With sequential numerical-analytical method we operate with numeric recursive procedures in the first stage of the calculation, and analytical relations – in the second stage. In parallel numerical-analytical method we operate with linear hypersystem of numerical equations in the first stage of the calculation, and analytical relations – in the second stage. For all the methods the relevant conditions for the unique solvability of the problem were obtained. A model example was considered for which using numerical and analytical methods an exact solution of the Taylor was obtained. The proposed numerical-analytical techniques can be efficiently implemented by means of modern information technology.